6.2.1 平面向量的线性运算（精讲）思维导图减法运算数乘运算加法运H三H母法财平杼四边形法则共起点，谨烬点，指向被减当暑0时，丄与；的方向相网当丄印时，丄僅与乳的方向相反当上=0时，丄fl =0X (ua=(i u)n ； (X4-ua=ka4-p a1 U +b) = X s 4- A b二角形法则规定实藪A与向豆m的职是一个向凰，这种运It叫做向駅的熬乘向量的如减数乘蜿称为向量的线性运算，鏡性运算的结果为向量共线定理 、向童E与非零向貝；共线的充養冬井绘有且只有-牛实数4使絆匸=丿二常见考法考法一 向量的加法运算【例1-1】（2020 全国高一课时练习）如图，在下列各小题中，已知向量a、b，分别用两种方法求作向【例1-2】（2020 全国高一课时练习）如果a表示“向东走10km”， b表示“向西走5km”， c表示“向北走10km ”， d表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义?(1) a + a ； (2) a + b ； (3) a + c ； (4) b + d ； (5) b + c + b ； (6) d + a + d .【例1-3】 （2021 重庆市大学城）向量B + MB)+Go + BC)+ 0M .化简后等于()A. AMB.0C. 0D. AC【例1-4】（2020湖南长沙市高一期末）已知点D, E, F分别是 ABC各边的中点，则下列等式中错误的）一A. FD + DA = FAB. FD + DE + EF = 0C. DE + DA = ECD. DE + DA = FD【一隅三反】1如图，已知向量a, b, c,求作和向量a+b+c.2（2020 北京高二学业考试）在平行四边形ABCD中，ab + AD等于（）DCDAC BCB BDACDC. AB + AD + CD = ADAC + BA + DA = 04.化简(1)BC+AB； AO+BC+OB； AB+DF+CD+BC+FA. DB+CD+BC；(5)(AB+MB) +BO+OM.考法二向量的减法运算【例2-1】（2020全国高一课时练习）如图，在各小题中，已知a, b，分别求作a - b【例22-21 （2020 全国高一课时练习）化简下列各式： AB QB CA）； AB - AC + BD - CD OA - OD + AD NQ + QP + MN - MP.其中结果为0 的个数是（）AB.T . 3 D.4【一隅三反】1. （2020 全国高一课时练习）如图，已知向量a,b,c,d，求作向量a -b , c-d2.如图，已知向量a, b, c,求作向量abc.3. （2020 莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB + BC - DC =（）A ACB ADC BDDBE4. （2020 全国高一课时练习）化简AB-CD-AC + BD =.5. 化简（1） （ABCD） （A匸BD） （2） OA-QD+AD；（3） AB+DA+BD-BCB.考法三向量的数乘的运算【例3T】（2020 全国高一课时练习）把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积:(1) a = 3e , b = 6e ；(2) a = 8e , b = 14e ；(3) a = -e , b = -e ；4)b-2 e【例3-2】（2020 全国高一课时练习）如图，OADB是以向量OA a,OB b为边的平行四边形，又BM =存CN -1 CD，试用 a，b 表示 OM，ON,MN -【一隅三反】1. (2020 全国高一课时练习)计算:(1) (3) x 4a ；(2) 3(a + b) 2(a b) a ；(3) (2a + 3b c) (3a 2b + c).2. （2020 全国高一课时练习）化简:(1) 5(2a 2b )+ 4(2b 3a)；2)6 (a一 3b + c )- 4 Ca + b 一 c )；3)a - 2b )+ 5a - (6a-9b)14)(x 一 y )(a + b )- (x 一 y )(a 一 b ).(1) 用 a, d, e 表示 DB ；(2) 用 b,c 表示 DB ；(3) 用 a, b, e 表示 ec ；(4) 用d疋表示EC_ _ 一考法四向量的共线定理【例4-1】 (2020 全国高一课时练习)判断向量a,b是否共线(其中e , e是两个非零不共线的向量):12(1) a = 3e , b =9e ；1111(2) a = e - e , b = 3e 213212e(3) a = e - e , b = 3e + 3e .1 2 1 2【例4-2】 （2020 全国高一课时练习）已知向量e ,e不共线，若AB = 2e + 10e , BC = -2e + 8e , 1 2 1 2 1 2CD = 3 C - e2）,试证：A, B, D三点共线.设e ,e是两个不共线向量，已知AB = 2e + ke ,e + 3e , CD = 2-e溜A,B,D三点共线,1 2 1 2 1 2 1 2打的值.一隅三反】1X2020 全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量a , b是否共线（其中ei，e2是两个非零不共线向量）(1) a = 5e , b = -10e ；112)11a e e2132b 3e12(3) a = e + e ,b = 3e -3e .1 2 1 22. (2020 新泰市第二中学高一期中)设a,b是不共线的两个非零向量.(1) 若 OA = 2a b，OB 3a + b，OC a 3b，求证：A， B，C 二点共线；(2) 若8a + kb与ka + 2b共线，求实数k的值；(3) 若 AB a + b, BC 2a 3b, CD 2a kb，且 A, C, D 三点共线，求实数k 的值.3. (2020 洛阳市)0为 AABC 内一点，且2OA + OB + OC 0，AD tAC，若B，O，D 三点共线, 则t的值为()A.1B. 4