毕 业 论 文黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系王建红 指导教师姓名： 项 明 寅 副教授 黄山学院 申请学位级别： 学士 学科、专业名称： 数学与应用数学 论文提交日期： 2007年05月 论文答辩日期: 2007年06月 学位授予单位：黄山学院 答辩委员会主席： 评 阅 人： 2007年06月Dissertation Submitted toHuangshan UniversityforThe Bachelor Degree ofMathematics and Applied MathematicsTHE DIFFERENCE AND RALATION BETWEEN RIEMANN CALCULUS AND LEBEGUE CALCULUSByWang JianHongSupervisor: Vice-Prof Xiang MingYinMay 2007黄山学院毕业论文勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系摘 要本文从微积分的发展过程出发引出了我们已知的黎曼积分，尽管黎曼积分的理论比较完备，但在考虑某些问题时，我们看到了黎曼积分的局限性，并通过具体的例子给予了说明于是就有了改造黎曼积分的必要性，从而提出了勒贝格积分本文的中心任务就是从我们已学过的黎曼积分和勒贝格积分的知识来探讨和归纳出两者之间的区别与联系，通过具体比较两者的定义，存在的条件，黎曼积分和勒贝格积分的性质、黎曼可积函数类和勒贝格可积函数类、以及与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理，并进一步用具体的例子来说明勒贝格积分使一些黎曼积分难以解决的问题变得迎刃而解，最后总结两者之间的区别与联系并顺便指出，勒贝格积分是黎曼积分的推广，但非黎曼反常积分的推广关键词：黎曼积分，勒贝格积分，区别，联系THE DIFFERENCE AND RALATION BETWEEN RIEMANN CALCULUS AND LEBEGUE CALCULUSABSTRACTThis article begins from the fluxionary calculus developing process which draws out our have known Riemann integral calculus.Although the Riemann integral calculus theory is quite complete， when considered some questions， we saw the Riemann integral calculus very limit To explain this question through the concrete examplesTherefore it is necessary to point out the Lebesgue integral calculus which have the very superiority compared to the Riemann integral calculus This articles central task is to discuss and induce the difference and the relation between the Riemann integral calculus and Lebesgue integral calculus from what we have studied the knowledge about the two kinds calculus Specifically comparing their definition， the existence of conditions， the nature of the Riemann calculus and Lebesgue calculus ，the Riemann integral calculus function class and Lebesgue integral calculus function class， as well as about the Riemann integral calculus and Lebesgue integral calculus there are some theorems Furthermore through using the concrete example to explain Lebesgue integral calculus cause the question to be solved easily Finally summarizing the two kinds integral calculus between the difference and the relationBy the way，Lebesgue integral calculus is Riemann integral calculus promotion，but It is not Riemann improper integral calculus promotionKEY WORDS: riemann calculus， lebesgue calculus， difference， relation 目 录第一章 绪 论11-1 微积分的发展史11-2 黎曼积分和勒贝格积分的引入1第二章 黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系52-1黎曼积分和勒贝格积分的定义的比较52-2黎曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较82-3黎曼积分和勒贝格积分的性质的比较92-4黎曼积分函数类与勒贝格积分函数类122-5与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理的比较12第三章 实例15第四章 总结和展望164-1本文总结164-2 展望17参考文献18致谢19i第一章 绪 论1-1 微积分的发展史积分学的历史很早，它起源于求积问题，早在古代人们就着手计算由曲边围成的图形的面积我国数学家刘徽力求单位圆的面积，他的方法是用许多不重叠的三角形来拟合图形，由于时代的限制他不能克服“无穷运算”的困难古希腊时代的穷竭法、中国的割圆术和祖暅定理都是早期的积分学关于积分的理解因为什么是无穷小，什么是不可分量而遇到困扰古代的穷竭法也只能用于最简单的曲线所成图形的面积如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到不定积分，但牛顿将微分学的思想用到积分问题上，看到了积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算，也就发展了不定积分的思想，莱布尼兹主要从定积分思想看出了积分运算是微分运算的逆总之得到了现在的牛顿莱布尼兹公式，即设如果是的不定积分，则它一定也是原函数，且任意两原函数相差一个常数，所以 此公式重要性在于计算积分再也不用用古希腊的穷竭法那么冗长了，而有了系统的处理方法因此微积分成了真正可以应用的理论了，上述公式被成为微积分基本定理，在当时，积分的概念并不清楚，而且他们遇到的函数无非是些简单的初等函数，到柯西发表他的著名的几本教科书后也就有了现时我们所了解的积分理论，现在称这种积分为黎曼积分其实应该称为柯西积分1-2 黎曼积分和勒贝格积分的引入柯西积分的对象是连续函数的积分，当然许可在某些点上不连续或无界，即包括了现在所说的反常积分而黎曼考虑的对象是使得积分和极限存在的函数类，或如达布所说的上下积分相等也就所谓的黎曼可积类黎曼可积函数许可更多的不连续点，极大的扩充了可积函数类现在我们知道为黎曼可积的充要条件是几乎处处连续，但是还要研究具有不连续点的函数，这在数学上是十分重要的，一个直接的来源是傅立叶级数的研究，许多物理问题都导致不连续的傅立叶级数问题处理这类问题需要更有力更细致的数学工具因此积分理论特别是他的发展在数学推理的严格性方面要求更高，如：当仅为黎曼可积时，微积分基本定理的证明有了困难而现在通用的证明方法应用了微积分中值定理，但其中假设了是连续的达布提出了以下的证明达布定理：设在 上可积，在上处处有导数，即则有 （1）证明：作的一个分划，所以，又由拉格朗日中值定理可得，存在，使得所以由于在上可积，因此当上述分划无限加细时，右边的极限即为，所以上述证明在当连续，但在有限多个点上不成立时也是有效的，只是将这有限多个点列入分点之内即可上述证明虽然很简单，易理解，但并未解决问题因为黎曼可积函数只是几乎处处连续，而将所有不连续点均归入分点之内是办不到的另一个例子是关于二重积分化为累次积分的问题，设在长方形区域：中连续，则必连续有著名的富比尼定理成立即， （2）关键在于若对连续，则对于固定的，是的连续函数，因此，存在且作为一个含参变量的积分，它是的连续函数，而是有意义的，因此上式是很自然的结果但若只是黎曼可积时，则对于固定的，是否为的黎曼可积函数甚至是否对几乎所有，是否为的黎曼可积函数均是个问题，因此不一定有意义，但上下积分仍有意义，因此关于黎曼可积的的二重积分，富比尼定理为：若是在中的可积函数，则有、 （3）此式的意思为内层的上下积分均是参数的黎曼可积函数，而且其积分就等于二重积分，记，在上也是黎曼可积的，且有，则由此是否可得到至少几乎处处有呢？即对几乎所有的均存在，则（3）式就变为（2）式了但是若一个非负黎曼可积函数积分为0，则此函数几乎处处为0，这证明很难的，而对勒贝格可积函数，（3）式结果是成立的在黎曼积分中重积分化为累次积分所要求的条件比勒贝格积分理论中要多，从副比尼定理中可知只要重积分存在，它就和两个累次积分相等，这是勒贝格积分的另一成功之处从上述两例子可看出，黎曼积分虽然比较简单，但一旦要考虑可能在一个零测度集上不连续的黎曼可积函数一些本来很自然的结果变得很难证明了，甚至可能不成立，尤其是不能在积分号下求极限，故黎曼可积函数类缺乏完备性，有其内在的局限性随着微积分学的发展，人们在利用黎曼积分时，感到它有很大的局限性，这要从黎曼积分的起源说起，我们知道黎曼积分的思想方法是“分割，近似求和，取极限”第一个提出分割区间做和式极限严格定义积分的是柯西他考察的积分对象是 上的连续函数，因此黎曼积分在处理诸于逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的然而随着集合论的一系列工作的创始，出现一些“病态”函数，在研究它们的可积性时黎曼积分理论面临了新的挑战特别是考虑可积函数的连续性和极限与积分次序交换问题以及微积分基本定理和可积函数空间的完备性方面如：（1）狄里克雷函数，由定义可证不是黎曼可积的，因此必须扩大积分的范围(2)在处不连续，但它是非一致收敛的，但此例子说明函数一致收敛只是极限与积分运算交换次序的充分而非必要条件，但一致