企业生产规模和调度的数量分析研究摘要本文分别在不同条件下讨论了怎样对企业的资源进行合理安排和调度，使该企业的生产过程达到最小规模和合理的周期。在问题一中，要达到无资源浪费、连续均衡生产，由于同类资源在生产中不可以通用，所以整个生产周期中没有闲置的设备和闲散人员，所有产品都在进行生产且在一个周期末时同时结束，且周期中所有设备和人员都一直在工作不停顿。要使所有中间产品和库存与上一周期结束时的库存相同，而单位成品所需各种中间产品的数量有确定的比例关系，则需要合理分配投入到各种产品生产中的人力、物力等多种资源，使中间产品以合适的比例进行生产，生产和消耗达到均衡，避免某种产品库存的空缺或积压。根据均衡生产中的中间产品的消耗等于产出原则，得出生产规模为，周期T30小时，库存。问题二，同类资源在生产中可以通用，即同一资源可以用于多种产品的生产，同一批资源（人力、设备）在单位生产周期不同时间段可以从事不同产品的生产。在保证产品按比例、均衡生产的前提下，对各种资源进行合理搭配，可以大大减小生产规模。由于既不能通过增加工人和设备来缩短时间，也不能通过加长时间而节省工人和设备，故生产1个单位A0所需的各资源总劳动量W保持不变。故周期T越大，生产规模R越小；周期T越小，生产规模R越大，则取W各分量的最大公约数48作为生产周期，即T48小时，此时最小的生产规模为： 然后在一个确定的资源使用量R 下，用搜索的方法求出A*Xt=R的所有解，这些解构成X(t)的状态集合XS。最后由各个状态准备中间产品的持续时间等于各中间产品的总加工工时和线性代数知识得出，若不考虑库存，有120种无差别的生产调度方案，但若要使库存量最小，则生产调度方案为： 问题三，在均衡生产、资源给定的条件下，要使资源浪费越少，则要求各资源的利用程度最高，这可用将生产规模R各分量无量纲化后相加构成的统一资源来衡量，越大，资源利用程度越高。然后根据均衡生产的约束条件用类似问题二的搜索法求出X(t)的状态集合，再根据生产过程X(t)，F(t)，S(t)的控制条件及使目标函数最大编程求出使浪费最小的生产规模和生产调度方案。 关键词：无资源浪费、连续均衡生产、搜索法、状态集合、无量纲化 问题的重述图1是某企业的生产结构示意图，是出厂产品，是中间产品，而表示生产一个单位需要消耗单位。表1给出了生产单位产品所需的资源（工人，设备）和时间，注意表中所给数据是最基本的，即既不能通过增加工人和设备来缩短时间，也不能通过加长时间而节省工人和设备。问题一：无资源浪费、连续均衡生产的最小生产规模是多大？相应的最短周期是多少？其中“无资源浪费”指在整个生产周期中没有闲置的设备和闲散人员。“连续”指整个周期中所有产品生产过程不会停顿。“均衡”指所有中间产品的库存与上一周期结束时的库存相同。“生产规模”是指完成整个生产过程所需各资源的总和。问题二：如果考虑相同的资源可以通用，那么问题一得到的最小生产规模在无资源浪费、均衡生产中能否减少。请写出你得到的生产规模，相应的周期和生产过程调度方案。问题三：如果该企业的资源限制为：类工人120名，类工人80名，技术人员25名，甲种设备8台，乙种设备10台，及周期限制（一星期，共小时），请你做出生产过程的调度方案，使在均衡生产条件下资源的浪费最小。图1 生产结构示意图表1 生产单位产品所需资源和时间产品A0A1A2A3A4A5A6需要的资源类工人71273437183317类工人30181713122823技术人员79076511甲种设备(台)4304202乙种设备(台)1310256加工时间(小时)6365212问题的分析问题的总括：在实际生产中，资源的合理安排和调度将使生产过程达到最优，所以这是一道最优化的问题。问题的目标：1、在资源不能通用的情况下寻找无资源浪费、连续均衡生产的最小规模；2、资源可以通用时的最小规模及调度方案；3、有资源限制时使资源的浪费最小，及利用率最高。问题的关键与难点：在本问题中，“无资源浪费”指在整个生产周期中没有闲置的设备和闲散人员。“连续”指整个周期中所有产品的生产过程不会停顿。“均衡”指所有中间产品的库存与上一周期结束时的库存相同，即在一个周期中，所有中间产品的生产和消耗相等。在问题一中，要达到无资源浪费、连续均衡生产，由于同类资源在生产中不可以通用，所以整个生产周期中没有闲置的设备和闲散人员，所有产品都在进行生产且在一个周期末时同时结束，且周期中所有设备和人员都一直在工作不停顿。要使所有中间产品和库存与上一周期结束时的库存相同，而单位成品所需各种中间产品的数量有确定的比例关系，则需要合理分配投入到各种产品生产中的人力、物力等多种资源，使中间产品以合适的比例进行生产，生产和消耗达到均衡，避免某种产品库存的空缺或积压。对于问题二，同类资源在生产中可以通用，即同一资源可以用于多种产品的生产，同一批资源（人力、设备）在单位生产周期不同时间段可以从事不同产品的生产。在保证产品按比例、均衡生产的前提下，对各种资源进行合理搭配，可以大大减小生产规模。对于问题三，由于存在客观限制，能提供的资源是给定的，周期也一定。这种情况下，在该确定周期下生产的产品越多，将使资源浪费越少。为求解方便，可将各资源规模无量纲化变成统一指标以比较其优劣。基本假设1、所有资源和工序在生产过程中一切正常，不考虑偶然事故的发生。2、所有的中间产品在资源满足的条件下都能转化成下一步生产的产品。3、生产的每种产品都有足够用以保证下一步生产顺利进行的库存量。这样，各种工序可以独立进行，不需要等待前级中间产品的完成。4、设备、人员的调度消耗的时间不记在生产过程中。5、每个工人都可以生产其中的任何产品，但工人之间的调度只能在同类人员中调度，如类工人只能在类工人工人之间进行调度。6、同一种工序可以同时开工，资源消耗等没有差异。7、生产是均衡的，产品的生产按下一步生产的要求成比例进行，一个周期结束时各种产品的库存与上一周期相同。基本符号和术语约定：生产周期；：时间限制。A：，其中表示第j 种工序所需的第i 种资源的数量。 ：，其中 表示生产一个最终产品所需第j 种工序的总加工工时。：一个周期内生产最终产品的数目。：，其中， 表示生产一个成品所需第j 种工序的数量。：，其中 表示生产单位成品（包括最终产品和相应中间产品）所需第i种资源的总工时（台时或人时）。：，其中 表示生产单位成品所需第j 种工序的总加工时间。：资源限制，其中 表示在整个生产过程中第i 种资源的最大允许使用量。：，其中表示进行第j种工序加工的生产线数目。x(t)：,其中表示时刻t 正在进行的第j 种工序的数目。S(t)：，其中表示时刻t 新开工的第j 种工序的数目。F(t)：，其中表示时刻t 结束的第j 种工序。K：，其中表示第i个中间产品的库存数。R：，其中表示第i种资源的规模。模型的建立和求解1 连续均衡无资源浪费的生产由题知，“无资源浪费”意味着每时每刻所有的生产规模都完全投入使用，没有人员和设备的闲置；“连续生产”指在同类资源不能通用时，同一批人员和设备在一个生产周期内始终从事同一产品生产，即周期内的每一时刻,正在进行生产的第种产品的数目不变，也即状态不变；“均衡生产”是使所有中间产品 和库存与上一周期结束时的库存相同，需要合理分配投入到各种产品生产中的人力、物力等多种资源，使中间产品以合适的比例进行生产，从而它们的生产和消耗达到均衡，而不导致产品库存发生变化，而单位成品所需各种中间产品的数量有确定的比例关系，生产规模也须确定并唯一，否则就会有资源浪费，生产不连续或者不能达到均衡。单位周期内生产的各种中间产品数为: (1.1)根据“均衡生产”的中间产品的生产等于其消耗得： (1.2)由公式（1.1）和(1.2)得: (1.3)即 由生产结构示意图：分析出：生产1单位需要各中间产品数为。而6个小时就可生产1单位，各个中间产品的生产能保证生产单位所需中间产品的供应量，且每个单位的生产过程都一样，则由公式（1.3）算出第i个中间产品有个生产线在生产，计算结果如下表：产品1456151212636521261230303012241255524对来说，5条生产线6个小时只能生产5个中间产品，因为每条生产线6个小时只生产1个成品和1个半成品。而在生产周期末，所需中间产品都应被生产完，也被消耗完，只有成品。故生产最短周期为，的最小公倍数，即小时才能使周期末时正好使全为成品，此时可以生产5个单位的，唯一的所求生产规模为：各中间产品的库存数只须在周期开始时保证它们的下一级产品同时开始生产即可，可取为生产单位所需中间产品数，且在周期末时各中间产品仍能保持这样的库存数：2 通用资源的均衡无资源浪费生产2.1最小生产规模的确定在问题2中同类资源在生产中可以通用，即同一资源可以用于多种产品的生产，同一批资源（人力、设备）在单位生产周期不同时间段可以从事不同产品的生产。在保证产品按比例、均衡生产的前提下，对各种资源进行合理搭配，可以大大减小生产规模。由于既不能通过增加工人和设备来缩短时间，也不能通过加长时间而节省工人和设备，故生产1个单位A0所需的各资源总劳动量W保持不变，且由问题1求出为：而由“无资源浪费”得没有人员和设备的闲置，即所有人和设备的生产都贯穿了一个周期，则：故由W不变得知，周期T越大，生产规模R越小；周期T越小，生产规模R越大。而题目要求最小的生产规模，故需最大的生产周期T，而R中各分量都为整数，所以可取W各分量的最大公约数48作为生产周期，即T48小时，此时最小的生产规模为：2.2生产过程的调度1、生产过程的描述：时刻进行的工序为，在时刻时结束的工序为，由工序不可打断，时刻将继续进行时刻未完成的工序为 ，因此下一时刻进行的各种工序的数目将不小于前一时刻未完成的工序数目，即有： （2.1）(其中“”为前者各分量都不小于后者，下同)时刻新开工的工序为： （2.2）时刻t 结束的第j 种工序必在时刻 开始，故有： （2.3）其中，。任何一种可能的生产过程都有唯一对应的X(t)，F(t)，S(t)函数，且X(t)，F(t)和S(t)满足上述三个公式。而满足上述三个基本公式的X(t)，F(t)和S(t)则对应一种可能存在的生产过程。而且，由（公式2.2）、（公式2.3），可根据X(t)确定唯一的S(t)和F(t)。可见，构造出合理的X(t)，t0，T），确定F(t)，S(t)后，则可代表一个生产过程，即为一种合理的调度方案。2、X(t)的确定：在一个确定的资源使用量R 下，由于AX(t)=R，X(t)各分量为非负整