第一章 练习题1 记是闭区间上连续函数全体构成的集合, 在上定义距离如下:，（1）按是否完备? （2）的完备化空间是什么?答：(1) 不完备, 例如对于以及,定义则在本题所定义的距离的意义下是Cauchy列, 因为另一方面, 点列并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有因此, 根据Lebesgue有界收敛定理, 可以得到但. (2) 的完备化空间是. 因为(i) 在距离的意义下, 是的稠密子集. 事实上, 任意取定一个, 需要证明: 对于任意的, 存在, 使得.事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在, 使得当, 只要, 就有 .因为(Lebesque)可积, 故几乎处处有限, 即, 其中. 由此可以得到 (因为是渐缩集列并且的测度有限),故存在某个自然数, 使得且 ,因此有,.引入一个新函数定义为显然对于恒有. 由Lusin定理, 存在连续函数和闭集, 使得且, 进而,.则限制在即为所求, 因为: . (ii) 是完备的空间. 2 设是距离空间，是的子集，对任意的，记，则（1）是的连续函数. （2） 若是中的点列, 使,是否为Cauchy列? 为什么?证：(1) 任意取定, 对于任意的根据三角不等式, 有, .对两端关于取下确界, 可以得到, .即, .由此可得.由此容易证明是上的连续函数, 实际上, 还满足Lipschitz常数等于1的Lipschitz条件.(2) 答: 未必是Cauchy列. 例如取, 其中的距离是Euclid距离. 对于, 对于, 定义点列为对于点列,不难验证,; 但显然不是Cauchy列. 这里的原因就在于不是点到点之间的距离, 而是点到集合的距离, 当这个集合含有不止一个点时, 不再具有点点之间距离的性质.3 是中的Lebesgue可测集合, 试证按距离是不可分空间.证法一：记为方便起见, 设. 定义显然有界,可测, 因此必属于. 记.则.既然对于不同的, 与不同的部分是正测度集, 容易看出的势是.进而有(不妨设)我们用反证法证明所需的结论.设是可分的，则其必有可数的稠密子集, 因此至少有一个属于两个不同的和.而由三角不等式, 我们有这是一个矛盾. 因此不可能是可分的. 证法二：既然是正测度集,存在使得. 不难验证, 存在一列正数满足: ;且. 对于每一个,其中或1, 定义,. 显然有界,可测, 因此必属于. 记,其中表示具有上述性质的的全体. 则.既然对于不同的, (不妨设, 且对于某个,)与不同的部分至少是正测度集, 容易看出的势与的势都是连续统的势.进而有我们用反证法证明所需的结论.设是可分的，则其必有可数的稠密子集, 因此至少有一个属于两个不同的和.而由三角不等式, 我们有这是一个矛盾. 因此不可能是可分的.补充题证明是不可分空间. 证：记, 其中显然, 且只要, 则有, 且因为(不妨设)的测度为正, 故.因此, 由是不可数集, 而的基数与的基数相同, 故也是不可数集,且中任何两个不同元的距离均为1. 如果是可分的, 因此有一个可数的稠密子集合, 且. 但这是荒谬的, 因为上式左端只有可数多个开球, 右端有不可数多个元, 所以至少有中的两个不同的属于同一个开球, 由此得到矛盾: 此矛盾表明不可能是可分的. 4 设是闭区间上具有阶连续导数的函数全体, 定义:试证:（1）是完备的距离空间; （2）若定义,则是Banach空间. 证：(1) 这里只证明该距离是完备的. 设是(时, 就理解为)中该距离意义下的Cauchy列. 因此当时，有.由此容易知道对于每一个, 是中的Cauchy列. 根据的完备性,知收敛到中的某个元, 记其为, 则, 且，,其中“”表示是一致收敛. 如果我们记利用数学分析中函数序列一致收敛的分析性质, 可以得到(*)例如, 因为, 故,即,又及, 故. 求导即可得到, 即 .归纳地可得(*). 因此且.即是完备的距离空间.（2）证略.7 证明有限维线性赋范空间是完备的. 证：记该有限维(实)线性赋范空间为, 是维的，范数记为,需要证明是完备的. 记中的一组基为: . 因此对于任意的, 存在唯一一组实数, 使得, 反之亦然. (i) 我们断言存在一个与无关的常数, 使得, . (*) 首先定义一个映射为: 对于任意的, .则对于任意的()有.由此容易知道是上的连续函数. 记是中的单位球面, 即. 则对于任意的, 有. (事实上, 若有则,因此, 但线性无关, 故必有, 此与相矛盾. )注意到是中的有界闭集(紧子集), 连续函数必可在其上达到正的最小值. 现在我们可以证明式(*). 事实上, 对于任意的,存在唯一的一组实数, 使得, 不失一般性, 可设因此, 不全为零, 注意到, 故或.由此容易得出(*)式. (ii) 设是中的基本列, 这里, 即, 当.利用(*)式便可以得到对于每一个, 成立, 当.即是中的基本列, 因此收敛. 设, (,).记, 显然. 根据中收敛的等价性(即按范数收敛意味着每个分量收敛或即按坐标收敛), 容易得到, 当.因此是完备的. 9 设为线性赋范空间, 是的线性闭子空间. 在中定义等价关系为. 对任意的, 以记的等价类, 令.称为商空间, 在上定义线性运算如下: (i) , ,(ii) , .并定义.试证: 按也是一个线性赋范空间. 证：(一) 按照所定义的线性运算是线性空间 (证明略).(二) 是中的范数. 按照定义, 对于每一个 显然是一个确定的数, 因此是映射. (i) (非负性) 对于, 显然.(正定性) 当时, 有.反之, 如果我们假设, 需要证明 , 也只需证明. 事实上, 根据下确界的定义, 对每一个自然数, 存在, 使得 ,由此得到一个序列且.因为是闭子空间因此故, 即.(ii) (正齐性) 对于, 如果, 则, 故. 如果, 则当取遍中的所有元时, 也取遍中的所有元, 反之亦然, 因此,(iii) (三角不等式) 设. 设, 当取遍中的所有元时, 也取遍中的所有元, 反之亦然, 进而, 的取法是相互独立的, 因此.也可用下面的证明方法: 对于任意的, 由下确界的定义, 存在使得, ,因此可以得到.因为的任意性, 可得.10 设为线性赋范空间, 收敛, 即按中的范数收敛, 则.证：记.对于有限项之和, 利用三角不等式, 成立. (*)又因为在范数意义下收敛, 其极限自然可以记为, 即, 再一次利用三角不等式, 可以得到当时,即, 因此在(*)式中令, 可得.11 设为线性赋范空间, 试证是Banach空间当且仅当是完备的.证：记. (必要性) 设是Banach空间, 是中的Cauchy列, 即且(当). 因为是Banach空间, 故收敛, 即存在, 使得, 由三角不等式容易得到: ,因此, 知, 故因此, 即完备. (充分性) 设是完备的, 并设是中的Cauchy列, 即当. 由,知是中的Cauchy数列, 因此收敛, 即存在某个数使得. 如果, 显然收敛于中的零元, 故不妨设. 由此知当充分大时, 总有, 不失一般性, 可设对所有的, 都有. 考虑新的点列, 显然. 进而 ， 由此易知是中的Cauchy列. 因为作为距离空间是完备的, 故收敛, 即存在, 使得. 最后我们断言: . 事实上, .综上可得是Banach空间. 15试证定理4中(f)式定义的的确满足内积分的定义. 证明: 即要证明: 对于赋范线性空间, 如果范数满足平行四边形法则: (*)则由 (时)(f)或(时) (f)所定义的确实是内积.(i) 对于, , 因为, 并且根据范数的性质.同理可证且.(ii)首先考虑时的情形, 对于, 可将表示为如下形式: ,再由平行四边形法则;.因此. 进而, 令可以得到, 这里利用了. 因为是任意的, 故可将换为, 即可得到.对照上述二式, 即有=. (*)至于时的情形, 注意到从形式上看, 利用上述已经证明了的等式(*)不难得到=.(iii) 首先考虑时的情形, 对于和任意实数, 由已经证明的(*)式有=,可知函数满足如下的函数方程: .(*)又关于是连续的, 因此必有.(事实上, 由(*)式对于任意的正整数和, 利用数学归纳法有;进而取, 有, 因此. 又(*)中取可得, 取可得. 因此对于所有的有理数, 均成立.利用的连续性, 可知对所有的实数也成立. )因此得到.至于时的情形, 注意到由(f) .由此也容易得到, 对于. (iv) 当时, 容易知道; 而当时, 直接计算也可得到.16设是中单位开圆盘, 即. 是上的面积测度, 定义为. (见课本第六页例4)在中定义内积为.试证(1) ()构成的正交基.(2) 若的Taylor展开式是, 则;(3) 若的展开式是, 则.证：先给出一个预备性结果: 对于，因为是解析函数, 因此可以展开为幂级数: .由此可以断言： （*）事实上，因为是解析函数,幂级数在中内闭一致收敛, 即对于的任意闭子集, 在上一致收敛. 对于, 以下取闭子集为. 容易知道是中的闭子集. 对于每一个, 注意到级数在中仍旧一致收敛, 以下的积分号和求和号可以交换顺序: 因此（*）式得证. (1) 首先证明是正交集. 事实上, 对于复数,根据所给的定义因此是正交集. 因为是完备的空间, 故只需再证是完备的即可得知其也是正交基. 设有且. 因为是解析函数, 因此可以展开为幂级数: .根据（*）式，可以得到，对于每一个, 由此即得, (). 所以. 即是完备的, 因此是中的正交基. (2) 既然是基,由Parseval等式可以得到.利用（*）式，上式的左端可以表示为: 由此可得所预期的结论. (3) 对于和, 有和，利用内积的连续性和（*）式，18设是内积空间,是中的正交集, 求证: , ().证： 对于任意的正整数, 由Cauchy不等式和Bessel不等式可以得到,由的任意性, 知正项级数收敛, 因此级数绝对收敛,并且.19试证构成的正交基, 但不是的正交基.证：(1) 首