中考数学平行四边形-经典压轴题附答案解析一、平行四边形1. 操作：如图，边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上，将厶ABP沿AP向右翻折， 得到 AEP, DE所在直线与AP所在直线交于点F.探究：(1)如图1,当点P在线段BC上时，若Z BAP=30o,求ZAFE的度数：若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时ZAFD 的度数.归纳：(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B, C重合)，ZAFD的度数是否会发 生变化？试证明你的结论；猜想：(3)如图2,若点P在BC边的延长线上时，ZAFD的度数是否会发生变化？试在 图中画出图形，并直接写出结论.【答案】(1)45。：BC的中点，45。； (2)不会发生变化，证明参见解析：(3)不 会发生变化，作图参见解析【解析】试题分析：(1)当点P在线段BC 时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求 出ZDAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为DF中 点，得到P为BC中点，如图1,连接BE交AF于点O,作EGIl AD,得EGIl BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形BoP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=I,得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；(2)若点P是线段BC上任意一 点时(不与B, C重合)，ZAFD的度数不会发生变化，作AG丄DF于点G,如图1 (a)所 示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出Z1Z2的度数，即为ZFAG 度数，即可求出ZF度数；(3)作出相应图形，如图2所示，若点P在Be边的延长线上 时，ZAFD的度数不会发生变化，理由为：作AG丄DE于G,得Z DAG=Z EAG,设 Z DAG=Z EAG=,根据Z FAE为Z BAE 一半求出所求角度数即可.试题解析：(1)当点P在线段BC上时，/ Z EAP=Z BAP=30o, /. Z DAE=90o - 30o2=30o,在AADE 中，AD=AE, Z DAE=30o, /. Z ADE=Z AED= (180 30) 2=75o,在 AFD 中，ZFAD=30+30=60, Z ADF=75o, /. Z AFE=I80 60 - 75=45;点 E 为 DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：11设 Z DAG=Z EAG=,DE=EF, AEG=2AD=I, VAB=AE, A点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段 BE的垂直平分线上,AF垂直平分线段BE, OB=OE, V GEll BP, AZOBP=Z OEG,Z OPB=Z OGE, BOP EOG, /. BP=EG=I,即 P 为 BC 的中点，/. Z DAF=90o -Z BAF, Z ADF=45o+Z BAF,二 Z AFD=I80o -ZDAF-Z ADF=45o; (2) Z AFD 的度数不会 发生变化，作AG丄DF于点G,如图1 (a)所示，在ZiADE 中，AD=AE, AG丄DE, T AG 平分Z DAE,即Z 2=Z DAG,且1Z I=Z BAP, . Z 1+Z 2=290o=45o,即ZFAG=45,则Z AFD=90o - 45o=45o;(3)如图 2所示，ZAFE的大小不会发生变化,ZAFE=45, Z BAE=90o+2, . Z FAE=2Z BAE=45+a,二 Z FAG=Z FAE - Z EAG=45o,在 Rt AFG 中,Z AFE=90o - 45o=45o 考点：1 正方形的性质；2折叠性质；3全等三角形的判定与性质.2. 操作与证明：如图X把一个含45。角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一 起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD , 连接AF.取AF中点M, EF的中点N,连接MD、MN.（1）连接AE,求证：AAEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论结论1： DM. MN的数量关系是结论2： DM、MN的位置关系是.；拓展与探究：（3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180%其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由理由参见解析【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF,继而证明出 ABE雯AADF,得到AE=AF,从而证明出ZkAEF是等腰三角形；（2） DM、MN的数量关 系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论位置 关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角 相等即可得出结论；（3）成立，连接AE,交MD于点G,标记出各个角，首先证明出1 1MNIl AE, MN=AE,利用三角形全等证出AE=AF,而DM辽AF,从而得到DM, MN数量相 等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关 系得到Z DMN=Z DGE=90o.从而得到DM、MN的位置关系是垂直 试题解析:(1) V 四边形 ABCD 是正方形,AAB=AD=BC=CD, Z B=Z ADF=90o, -CEF 是等腰直角三角形，Z C=90% /. CE=CF, /. BC - CE=CD - CF,即 BE=DF, ABE仝 ADF, AE=AF. A A AEF是等腰三角形；(2) DM. MN的数量关系是相等,DM. MN的位置关系是垂直；在Rt ADF中DM是斜边AF的中线,/. AF=2DM, TMN 是ZkAEF 的中位线,. AE=2MN, /AE=AF, /.DM=MN; T Z DMF=Z DAF+Z ADM,AM=MD, Z FMN=Z FAE, Z DAF=Z BAE, /. Z ADM=Z DAF=Z BAE, Z DMN=Z FMN+Z DMF=Z DAF+Z BAE+Z FAE=Z BAD=90 DMIMN; (3) (2)中的 两个结论还成立，连接AE,交MD于点G, T点M为AF的中点，点N为EF的中点，1A MNll AE, MN=AE,由己知得,AB=AD=BC=CD, Z B=Z ADF, CE=CF,又 BC+CE=CD+CF,即 BE=DF, /. ABE旻 ADF, A AE=AF,在 Rt ADF 中,T 点 M 为 AF 的 1中点， DM=AF, A DM=MN, T ABE變 ADF, /. Z I=Z 2, VABIl DF, . Z I=Z 3,同 理可证：Z2=Z4, Z3=Z4, TDM=AM, /. Z MAD=Z 5, Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+Z 3=90, T MNll AE, /. Z DMN=Z DGE=90o, . DMdMN.所以（2）中的两个结论还成立.质.3. 如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合）,连接DE、点C 关于直线DF的对称点为U,连接AU并延长交直线DE于点P, F是AU的中点，连接DF.（1）求ZFDP的度数；（2）连接BP,请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC,若正方形的边长为请直接写出AACU的面积最人值.【答案】（1）45；（2） BP+DP=y2AP,证明详见解析；（3） 1.【解析】【分析】（1）证明ZCDE=ZCDEADF=A CDFf 可得Z FDP, = -ZADC= 45；2（2）作辅助线，构建全等三角形，证明 BAP DAP （SAS）,得BP=DP,从而得 网P是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线CG,确定CC的面枳中底边AC为定值2,根据高的人小确定面积的人 小，当C*在BD上时，CG最大，其AACC的面积最大，并求此时的面积.【详解】（1）由对称得：CD=CD, ZCDE=Z CDE,在正方形 ABCD 中，AD=CD, Z DC=90o,. AD=CD,TF是AC的中点，. DF丄AC, ZADF=ZCQf, Z FDP=Z FDC+Z EDCl= 一 Z ADC=45。；2(2) 结论：BPWP= 2 AP9理由是：如图，作Ap丄AP交PD的延长线于P,. Z P, = 90o,在正方形 ABCD 中，DA = BA. Z BAD=90o. Z DAPI = A BAP,由可知：Z FDP=45o Z DFP=90/. ZPD=45o, Z P= 45。, AP=AP1,在厶弘卩和厶DAP中，BA = DA. 2 1) = V1.【点睛】 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.4. 在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0 (0, 0，点人(5, 0),点B (0, 3).以点&为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O, Bt C的对应点分别 为 D E, F.(1) 如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；(2) 如图，当点D落在线段BE上时，AD与Be交于点H. 求证 ADB AOB- 求点H的坐标.(3) 记K为矩形AoBC对角线的交点，S为AKDF的面枳，求S的取值范闱(直接写出结 果即可).图图17【答案】(I) D (1, 3) ；(2)详见解析；H (y , 3) :(3) 30-334 30 + 3344 4【解析】【分析】(1) 如图，在Rt ACD中求出CD即可解决问题；(2) 根据HL证明即可；,设 AH=BH=m,则 HC=BC-BH=5-m,在 Rt AHC 中，根据 AH2=HC2+AC2,构建方程求出 m即可解决问题；(3) 如图中，当点D在线段BK上时， DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时， DZEZK的面枳最人，求出面积的最小值以及最人值即可解决问题:【详解】(I) 如图中，图 A (5, O) , B (0, 3),. OA=5, OB=3,V四边形AOBC是矩形，A AC=OB=31 OA=BC=5, ZoBC=ZC=90,矩形