第六章非线性微分方程和稳定性教学目标1. 理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。2. 掌握平面初等奇点的分类方法。3. 了解拟线性近似决定微分方程组的稳定性及用李雅谱若夫第二方法判别稳定性的方法。4. 了解周期解和极限环的概念。教学重难点奇点的分类与相应零解的稳定性 教学方法讲授，实践。教学内容解的稳定性定义，相平面、相轨线与相图；平面自治系统的性质，奇点的 分类及相应零解的稳定性；拟线性近似，李雅谱若夫第二方法判别稳定性，周期解和 极限环的概念。考核目标1奇点的分类及相应零解的稳定性。2. 李雅谱若夫第二方法判别稳定性。3. 会求周期解和极限环。 1相平面、相轨线与相图把xoy平面称为平面自治系统(6.1)x = P(x, y)= Q(x,y)的相平面.把(6.1)式的解x二x(t), y = y(t)在xoy平面上的轨迹称为(6.1)式的轨线或相轨线轨线族在相平面上的图象称为(6.1)式的相图.注意：在上述概念中，总是假设(6.1)式中的函数P(x, y),Q(x, y)在区域D：| xh： H, | y |： H (H乞：)上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件(6.1) 式的解x =x(t), y二y(t)在相平面上的轨线，正是这个解在(t,x, y)三维空间中的积分曲线在相平面上的投影F面讨论二阶线性系统dx=6必 + a12 ydtdxa2ix a22y dt(6.2)奇点(0,0)附近轨线的分布：上述系统写成向量形式为方程组dXd X AX (det A = 0)它存在线性变换 X =TX，可化成标准型JX由A的特dtdt征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型1 结点型如果在某奇点附近的轨线具有如图5-1的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点因此，当卩v入v 0时，原点O是dxdyd(6.3)(5.4)式的稳定结点图6-16-2如果在某奇点附近的轨线具有如图5-2的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点此，当卩 入 0时，原点O是(5.4)的不稳定结点当入v0时，轨线在t宀+ 时趋近于原点当入0时，轨线的正向远离原点， 我们称奇点如果在奇点附近轨线具有如图5-5及图5-6图6-4这时，我们称奇点 0为稳定的临界结点；0为不稳定的临界结点的分布，就称它是退化结点当入v 0时,轨线在t宀+ 时趋于奇点，称这奇点为稳定的退化结点；当 入0时，轨线在t宀+ 时 远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点2.鞍点型如果在某奇附近的轨线具有如图5-7或图5-8的分布情形，我们称这奇点为鞍点 因此,当，入异号时，原点 0是(5.25)的鞍点图6-8图6-73.焦点型如果在某奇附近的轨线具有如图5-9的分布情形，我们称原点0是稳定焦点；而当:0时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点（见图5-10）.图 6-104. 中心型如=0,则轨线方程成为:_ C 或 x2 y2 = C2它是以坐标原点为中心的圆族 .在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心综上所述，方程组dtAX(det A = 0)(6.4)经过线性变换 文二TX，可化成标准型dXdt(6.5)由A的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中同号_结点,异号一一鞍点临界结点I退化结点当det A= 0，根据A的特征根的不同情况可有如下的类型:相异（非零）实根 实根w重（非零）实根实部不为零一一焦点实部为零一一中心因为A的特征根完全由 A的系数确定，所以 A的系数可以确定出奇点的类型S李雅普诺夫稳定性1、稳定性定义李雅普诺夫稳定性概念如果对于任意给定的； 0和10 _ 0都存在 、-（；,to）0，使得只要Xo满足就有x 0 Xi:X(t,to, Xo) -(t,to, Xi)| :;对一切t _t0成立，则称微分方程dxdtf (t, x)(6.6)的解X呼(t,to , Xi)是稳定的.否则是不稳定的.假设X = (t,to, Xi)是稳定的，而且存在1 (0 :： :. 1乞-；)，使得只要Xo满足X 0 - Xi|:-1就有tim (x(t,to, Xo) - (t,to,Xi) = 0则称(6.6)的解x =Xi)是渐近稳定的.注意：微分方程(6.6)式中的函数f (t, x)对x DRn和t (-：)连续，对X满足局部李普希兹条件.一般情况下，我们把解 x = (t,t0, xi)的稳定性化成零解的稳定性问题进行讨论.这样就有下面的关于零解x =0稳定性的定义：定义i若对任意； 0和t。一 0，存在( ；,t。) 0，使当| x时有x(t,t0, X0)：；对所有的t -t0成立，则称(6.6)的零解是 稳定的.反之是不稳定的.定义2若(6.6)的零解是稳定的，且存在 r0,使当X0|亠时有im_x(t,t0, x0)= 0则称(5.i)的零解是 渐近稳定 的.2、李雅普诺夫第二方法定义3 (李雅普诺夫函数)若函数V(x): G R满足V(0) = 0, V (x)和仝(i =1,2,，n)都连续，且若存在 0HK使在次iD = x | x H /上 V (x) _0任0)，则称V (x)是常正(负)的；若在D上除x=0外总有V (x)0(：0)，则称V (x)是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的定理1 (零解稳定判别定理)对系统dxdt= F(x),(6.7)若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足(1) 正定；n(2) |(5.2)=送Fi (x)常负dti 1 :Xi则(6.7)的零解是稳定的.注意：(6.7)式中 f(x) = (Fi(x),，Fn(x)T 在 G = -x- Rn | x K /上连续，满足局部李普希兹条件，且F(0) =0 引理 若V(x)是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续有界函数x(t)有则 lim x(t) =0. t_ .定理2 (零解渐近稳定判别定理)对系统(5.2)，若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足(1)正定,d Vdt则(6.7)J ；:VF i(x)负定，i m xi的零解渐近稳定.(6.7)定理3 (零解不稳定判别定理)对系统(5.11)若存在李雅普诺夫函数 V(x)满足；:V宀(5.2)Fi (x)正疋,QXi(2) V(x)不是常负函数，则系统(6.7)的零解是不稳定的出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍 卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开 张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有 司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛 下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先 帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此 悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也 El臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙， 猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值 倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤 先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原， 庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至 于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言， 则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追 先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。