南京晓庄学院2012届本科毕业论文层次分析法的应用及MATLAB实现作者：沈小欣 指导老师：陈俊 前 言随着经济的发展，收入水平的提高，消费者对商品房的要求也在增加。目前多数消费者购房时考虑的因素有居住环境、孩子的教育环境、地理位置和房价等等。由于涉及金额较大，购房需慎之又慎，以免花钱买后悔。 针对消费者的需求，房地产开发商也在不断地推出新的楼盘。这些楼盘往往各有各的特点，这使得消费者经常因选房而筋疲力尽，生怕捡了芝麻丢了西瓜。究其原因，主要是考虑的因素太多，这就使得购房者难以做出孰优孰劣的判断。但是，所有的购房者都想买到物美价廉的房子，这是总目标，如果我们能够对备选房源“物美价廉”的程度进行量化，就能通过简单的数值比较做出决策，已达到最大的满意度。在该文中我们运用运筹学中的层次分析法就能轻松解决这一决策难题。1、层次分析法概述1.1 简介1 层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代在为美国国防部研究根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。1.2 层次分析法的基本步骤2 31.2.1建立层次结构模型 根据问题的性质和要求，提出一个总目标。将目标逐层分解为几个层次，一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层 。1.2.2构造成对比较矩阵设某层有 个因素，要比较它们对上一层某一准则(或目标)的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。上述比较是两两因素之间的比较，比较时取尺度。用表示第个因素相对于第个因素的比较结果， 则 ，称为成对比较矩阵。比较尺度：(尺度的含义) 尺度 含义 1第 个因素与第 个因素的影响相同 3第 个因素比第 个因素的影响稍强 5第 个因素比第 个因素的影响强 7第 个因素比第 个因素的影响明显强 9第 个因素比第 个因素的影响绝对强 第 个因素相对于第 个因素的影响介于上述两个相邻等级之间 1,1/2,1/9第 个因素与第 个因素之比为 的相反数 由上述定义知，成对比较矩阵满足以下性质：也称为正互反矩阵。补充说明：若该成对比较矩满足 ，则称为一致性矩阵，一致性矩阵有如下性质：1， 的秩为1，的唯一非零特征根为；2， 的任一列向量都是对应于特征根的特征向量。1.2.3层次单排序及一致性检验针对某一准则，计算各方案的相对权重，即层次单排序，并进行一致性检验。首先对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，并对其所求得的特征向量做归一化，最后利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。定义一致性指标： 其中为最大特征根，为矩阵阶数。随机一致性指标的数据如下：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 00.580.901.121.241.321.411.451.491.51一般地，当一致性比率时，检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。对每一层都如上述过程构造成对比较矩阵，并进行一致性检验。补充说明做一致性检验的原因：上文我们介绍了一致性矩阵的特性，由于它的任一列向量都是对应于特征根的特征向量，所以以其归一化特征向量作为权向量是非常合适的，但是遗憾的是不是每一个成对比较矩阵都是一致性矩阵，但若在不一致的容许范围内，萨蒂教授建议用如上的方法来得出权向量，因为的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当矩阵的元素离一致性的要求不是很远时，的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。由于也不是所有的成对比较矩阵都在不一致的容许范围内，所以我们制定了一致性检验的过程。1.2.4层次总排序及其一致性检验即为确定某层所有因素对于总目标相对重要性的权重的过程。最底层相对于最高层的权向量的计算公式为（设共有s层），其中表示第2层对第1层的成对比较矩阵, 表示第层对第层各个元素所确定的权向量按列排成的矩阵。例如，第2 层有4个元素, 那么第2 层对第1 层的权向量可以表示为一个4 维列向量，设为。第3 层有6 个元素, 对应第2 层的每个元素可以确定出相应的6维权向量,共有4个权向量（都为列向量），设为，这4个列向量组成一个矩阵设为,即 用这个矩阵乘以第2 层相对于第1 层的权向量, 就可以得到第3 层相对于第1 层的组合权向量，设为，即。计算出了组合权向量, 还需进行组合一致性检验, 才能确定该评价是否可信。第2 层对第1 层的上文中已可以得到。假设第-1层有个元素，设第层对第-1层的第个元素的成对比较矩阵的一致性指标为,随机一致性指标为，则第层的组合一致性比率的计算公式如下：逐层进行组合一致性进行检验,若，则认为第层通过组合一致性检验,评价可被接受，如果不能达到一致性, 就需调整评价矩阵。假设共有层，则定义最底层对第1 层的组合一致性比率为,仅当适当小时, 才可认为整个层次的比较判断通过一致性检验。2、层次分析法在城市购房决策中的具体应用2.1简化模型本文具体研究南京的购房选择地问题，为了简化模型，我们做如下规定：1本文的模型及程序在用于研究南京的购房选择地问题上，作出判断的最小单位为南京的“区”。2上一项的规定中“区”，即层次结构模型中方案层的元素如下：鼓楼、玄武、下关、白下、秦淮、建邺 、江宁这七个区，分别设为，其他区不予考虑。3本文只考虑购买新房，不考虑二手房等等。4层次结构模型中准则层的元素如下：居住环境（设为）,教育环境(（设为）,地理环境（设为），房价（设为）。5本文取如下3种购房人群做分析对象：第一类，刚工作几年的大学生毕业生，设为；这一类人群没有充裕的资金，由于处在事业的打拼期，所以一切了工作的方便而买房，他们买房的要求为：交通方便，价钱便宜。第二类，事业有成的中年夫妇，设为；这一类人群有充裕的资金，他们已经有了好的事业基础，所以重心放在孩子身上，所以他们买房的要求为：地点位于好学校的学区，在此基础上最好能有一个好的居住环境和便利的交通。第三类，老年夫妇，设为；这一类人群相比第一类在资金上的情况要好一点，但他们的重心在于要有一个好的居住环境，在此基础上最好能有便利的交通，以方便他们的出行。2.2建立模型 2.2.1 建立层次结构模型根据2.1的规定我们可以建立层次分析结构模型如下图：方案层 选择合适的买房点 居住环境地理位置 房价教育环境鼓楼区玄武区下关区白下区秦淮区建邺区江宁区准则层目标层2.2.2 构造成对比较矩阵 针对三种人群，准则层对目标层的成对比较矩阵不同，分别为如下三种情况：（1）针对,，购买单身公寓时，四个准则层的重要性排序大致为，我们设此时的模型中准则层对目标层的成对比较矩阵为,则按照比较尺度可得：（2）针对，买房时，四个准则层的重要性排序大致为，我们设此时的模型中准则层对目标层的成对比较矩阵为,则按照比较尺度可得：（3）针对，购买养老住房时，四个准则层的重要性排序大致为，我们设此时的模型中准则层对目标层的成对比较矩阵为,则按照比较尺度可得：而方案层对准则层的成对比较矩阵与买房对象无关，设方案层对准则层的因素的成对比较矩阵为,则根据实际情况，可得四个成对比较矩阵如下：2.2.3层次单排序，并进行一致性检验。2.2.4 层次总排序，并进行组合一致性检验。补充说明：根据附件中 MATLAB有关该模型的程序设计可以利用计算机操作3和4的相关步骤，得出最终的可信的权向量，即分别针对三种人群的最优选择：（1）针对，得出的组合权向量为 ：，所以最佳选择为方案7，即江宁区。（2）针对，得出的组合权向量为 ：，所以最佳选择为方案1，即鼓楼区。（3）针对，得出的组合权向量为 ：所以最佳选择为方案7，即江宁区。3、结语 对于一个普通消费者来说，买房可能是其一生中最大的一笔投资。但是由于对房子的要求较多，而且这些要求无法量化，消费者很难做出准确的判断，只能根据开发商的描述和房源周围环境感性购房。这种情况下房子质量往往得不到保证。本文就南京消费者购房选择哪个区的这一具体问题，详细描述了采用层次分析法解决多目标决策问题的方法及步骤，把定性分析和定量计算结合起来，有效地克服了主观臆断性，做到了选择的科学性和合理性。其最大的特点就是简单易懂，容易掌握，是消费者科学购房的一种实用方法。当然层次分析分析法在解决这类问题时也有它的不足之处：1 它只能从原有方案中选优，不能生成新方案；2 它的比较、判断、直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；3 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然，采取专家群体判断的办法是克服这一缺点的一种途径。参考文献1 张丽杰,骆素君,柴树峰. 层次分析法在区域物流中心选址中的应用J. 物流科技.2011,1002-3100(05):47-49.2 姜启源,谢金星,叶俊. 数学建模（第三版）M. 北京：高等教育出版社,2003，224-243.3 董守贵. 基于MATLAB的层次分析法实现 J. 焊工兵器. 2003(04):16-18.4 张志勇，杨祖樱. MATLAB教程M. 北京：北京航空航天大学出版社，2009，228-237.5 魏布龙. 层次分析法（AHP）程序的设计 J. 计算机农业应用. 1994(03):18-21.致 谢非常感谢我的指导导师陈俊老师，他在论文的写作过程中始终对我严格要求