2.1.2指数函数及其性质1指数函数的概念(1)定义：一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R(2)指数函数的特征：特征例如函数y34x和yx4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数其中函数ykax(kR，且k0，a0，且a1)称为指数型函数释疑点 指数函数的概念中为什么要规定a0，且a1?(1)若a0，则当x0时，ax0；当x0时，ax无意义(2)若a0，则对于x的某些数值，可使ax无意义如(2)x，这时对于x，x，在实数范围内函数值不存在(3)若a1，则对于任何xR，ax1，是一个常量，没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定a0，且a1在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且ax0【例11】函数y(a2)2ax是指数函数，则()Aa1或a3Ba1Ca3Da0且a1解析：由指数函数定义知所以解得a3答案：C【例12】下列函数中是指数函数的是_(填序号)y2()x；y2x1；y；yxx；y；y解析：序号是否理由否()x的系数不是1否2x1的指数不是自变量x是满足指数函数的概念否底数是x，不是常数否指数不是自变量x否底数不是常数且指数不是自变量x答案：2指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与性质对应关系如下：图象特征函数yax(a0，且a1)的性质图象都位于x轴上方自变量x取任何实数时，都有ax0函数图象都过定点(0,1)无论底数a取任何正数，都有a01当a1时，图象在第一象限内纵坐标都大于1；在第二象限内纵坐标都大于0小于1而当0a1时图象正好相反a1时，当0a1时，自左向右看，a1时图象呈上升趋势；当0a1时，图象呈下降趋势当a1时，yax是增函数；当0a1时，yax是减函数(2)指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质a10a1图象性质定义域R，值域(0，)图象都过点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数对称性指数函数yax和yx(a0，且a1)的图象关于y轴对称点技巧 指数函数性质记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点【例21】函数y(1)x在R上是()A增函数 B奇函数C偶函数 D减函数解析：由于011，所以函数y(1)x在R上是减函数因为f(1)(1)1， f(1)1，则f(1)f(1)，且f(1)f(1)，所以函数y(1)x不具有奇偶性答案：D【例22】如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc解析：(方法一)在中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有ba在中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有dc故选B(方法二)设x1与的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得cd1ab故选B答案：B析规律 底数的变化对函数图象的影响当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x0时，底大图象高3指数型函数模型(1)指数增长模型设原有值为N，平均增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN)(2)指数减少模型设原有值为N，平均减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则yN(1p)x(xN)(3)指数型函数形如ykax(kR，且k0；a0，且a1)的函数称为指数型函数【例3】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg1年后，该乡镇粮食总产量为360M(14%) kg，人口数量为M(11.2%)，则人均一年占有粮食为kg，2年后，人均一年占有粮食为kg，x年后，人均一年占有粮食为ykg，即所求函数解析式为(xN*)点技巧 指数增长模型的计算公式在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用yN(1p)x来表示这是非常有用的函数模型4利用待定系数法求指数函数的解析式已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式在指数函数的概念中，只有形如yax(a0，且a1)的函数才是指数函数，除此之外的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成yax(a0，且a1)的形式，而不是其他形式同时，指数函数的解析式中只含有一个常数a，由此只需一个条件就可确定指数函数的解析式例如：若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)解：设f(x)ax(a0，且a1)，因为函数f(x)的图象经过点(2,9)，代入可得a29，解得a3或a3(舍去)故f(x)3x【例41】指数函数yf(x)的图象经过点(，e)，则f()_解析：设f(x)ax(a0，且a1)，yf(x)的图象过点(，e)，aeaf(x)()xf()()e1答案：【例42】已知指数函数f(x)的图象经过点，试求f(1)和f(3)分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出解：设f(x)ax(a0，且a1)，函数f(x)的图象经过点，a2，解得a4又a0，则a4，f(x)4xf(1)41，f(3)4364点技巧 关于a的方程amn的解法方法一：可以先把n化为以m为指数的指数幂的形式nkm，即amkm，则可得ak方法二：由amn得到，即，再利用指数幂的运算性质化简5与指数函数有关的定义域、值域问题指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数与指数函数有关的复合函数的定义域和值域的求法如下：(1)求定义域的方法函数yaf(x)(a0，且a1)的定义域与函数yf(x)的定义域相同函数yf(ax)的定义域与函数yf(x)的定义域不一定相同例如，函数f(x)的定义域为0，)，而函数f(x)的定义域则为R求函数yf(ax)的定义域时，可由函数f(x)的定义域与g(x)ax的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解(2)求值域的方法求函数yaf(x)(a0，且a1)的值域时，先求函数yf(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数yaf(x)的值域求函数yf(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围【例51】求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)解：(1)由12x0可得2x1，x0函数的定义域为x(，0由02x1可得12x0，012x1函数的值域为y0,1)(2)定义域为Rx22x3(x1)244，16又0，函数的值域为(0,16【例52】求下列函数的值域：(1)；(2)解：(1)0，1函数y的值域为y|y0，且y1(2)，2x0，2x1101，20111故函数的值域为y|1y16指数函数的图象及定点问题(1)与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数yax(a0，且a1)过定点(0,1)，即对任意的a0，且a1，都有a01这是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键一般地，对于函数ykaf(x)b(k0)，可令f(x)0，解方程得xm，则该函数的图象恒过定点(m，kb)方程f(x)0解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数(2)指数函数的图象变换的问题根据函数图象的变换规律，有以下结论：函数yaxb(a0，且a1)的图象，可由指数函数yax(a0，且a1)的图象向左(b0)或向右(b0)平移|b|个单位长度而得到；函数yaxb的图象，可由指数函数yax(a0，且a1)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位长度而得到；函数yax的图象与函数yax的图象关于y轴对称；函数yax的图象与函数yax的图象关于x轴对称；函数yax的图象与函数yax的图象关于原点轴对称；函数ya|x|的图象，关于y轴对称，当x0时，其图象与指数函数yax(a0，且a1)图象相同；当x0时，其图象与x0时的图象关于y轴对称【例61】若函数f(x)2ax13(a0，且a1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_解析：令x10，解得x1，所以f(1)5所以函数f(x)2ax13的图象恒过定点(1,5)答案：(1,5)【例62】(1)为了得到函数y3的图象，可以把函数y的图象()A向左平移3个单位长度B向右平移3个单位长度C向左平移1个单位长度 D向右平移1个单位长度(2)若函数yaxb1(a0，且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A0a1，且b0 Ba1，且b0C0a1，且b0 Da1，且b0(3)方程2|x|x2的实根的个数为_解析：(1)本题考查函数图象的平移y3，则只需把函数y的图象向右平移1个单位长度故选D(2)本题考查函数图象的性质函数yaxb1(a0，且a1)的图象是由函数yax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a(0,1)若经过第二、三、四象限，则需将函数yax(0a1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b11b0故选C