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第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图:数二、 绝对值的意义:(1)几何意义:一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。(2)代数意义:正数的绝对值是它的本身;负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。 也可以写成: 说明:()|a|0即|a|是一个非负数;()|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、 典型例题例1(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( A ) A-3a B 2ca C2a2b D b解:| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。例2已知:,且, 那么的值( C )A是正数B是负数C是零D不能确定符号解:由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示: 所以 分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解:设甲数为x,乙数为y由题意得:, (1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:若x在原点左侧,y在原点右侧,即 x0,则 4y=8 ,所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧,y在原点左侧,即 x0,y0,则 -4y=8 ,所以y=-2,x=6(2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:若x、y在原点左侧,即 x0,y0,y0,则 2y=8 ,所以y=4,x=12例4(整体的思想)方程 的解的个数是( D )A1个 B2个 C3个 D无穷多个分析:这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。 例5(非负性)已知|ab2|与|a1|互为相互数,试求下式的值分析:利用绝对值的非负性,我们可以得到:|ab2|=|a1|=0,解得:a=1,b=2于是 在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考, 如果题目变成求 值,你有办法求解吗?有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与,3与5,与,与3. 并回答下列各题:(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:_相等 .(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为1,则A与B两点间的距离可以表示为 分析:点B表示的数为1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢?因为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么,如何求出A与B两点间的距离呢? 结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x-1时,距离为-x-1, 当-1x0,距离为x+1综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为(3)结合数轴求得的最小值为 5 ,取得最小值时x的取值范围为 -3x_2_.分析:即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图,x在数轴上的位置有三种可能:图1 图2 图3图2符合题意(4) 满足的的取值范围为 x-1 分析: 同理表示数轴上x与-1之间的距离,表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求,当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴,我们可以得到正确答案:x-1。说明:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上, 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。 四、 小结1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲:代数式的化简求值问题一、知识链接1 “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容,是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。注:一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题例1若多项式的值与x无关,求的值.分析:多项式的值与x无关,即含x的项系数均为零因为所以 m=4将m=4代人,利用“整体思想”求代数式的值例2x=-2时,代数式的值为8,求当x=2时,代数式的值。分析: 因为当x=-2时, 得到,所以当x=2时,=例3当代数式的值为7时,求代数式的值.分析:观察两个代数式的系数由 得 ,利用方程同解原理,得 整体代人,代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。例4 已知,求的值.分析:解法一(整体代人):由 得 所以:解法二(降次):方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。由,得,所以: 解法三(降次、消元):(消元、减项) 例5(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;B公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?分析:分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入(元)第一年:A公司 10000; B公司 5000+5050=10050第二年:A公司 10200; B公司 5100+5150=10250第n年:A公司 10000+200(n-1); B公司:5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。例6三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且,则 的值是_ 。解:因为abc0,所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a0,c0则ab0,ac0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。同理,当b0,c0时,x=0。另:观察代数式 ,交换a、b、c的位置,我们发现代数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题:172839410511612例7如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,(1)“17”在射线 _上,“2008”在射线_上(2)若n为正整数,则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为_分析:OA上排列的数为:1,7,13,19, 观察得出,这列数的后一项总比前一项多6, 归纳得到,这列数可以表示为6n-5因为17=36-1,所以17在射线OE上。因为2008=3346+4=3356-2,所以2008在射线OD上例8 将正奇数按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根据上面规律,2007应在A125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列分析:观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找 第三列数: 3,11,19,27, 规律为8n-5 因为2007=2508+7=2518-1 所以,2007应该出现在第一列或第五列 又因为第251行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列,所以2007应该在第251行第5列例9(2006年嘉兴市)定义一种对正整数n的“F”运算:当n为奇数时,结果为3n5;当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算重复进行例如,取n26,则:26134411第一次F第二次F第三次F若n449,则第449次“F运算”的结果是_分析:问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算,即当n为偶数时,结果为(其中k是使 为奇数的正整数),要使所得的商为奇数,这个运
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