概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章7.1设总体N(,2),其中参数第七章假设检验2为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复2合假设:解：(1)7.2设Ho：(1)(3)(5)Ho :Ho :Ho：是简单假设,o, 1 ；3,1 ；0.其余位复合假设25取自正态总体N(o取检验的拒绝域:(2)(4)Ho :Ho ：0o, 1 ；3；其中参数 未知，又是子样均值，如对检验问题( X1, X2,L ,X25) ：|X o | c,试决定常数c ,使检验的显著性水平为o.o5解：因为 N(9N( ,25)在Ho成立的条件下,Po(lc)P(l月 53c)5c()o.o5 35c5c(一)o.975， 1.96,所以 c=1.176。337.3 设子样1, 2,L , 25取自正态总体N (o2)，0已知，对假设检验Ho： o, H1 ： o ,取临界域 c (X1,X2,L ,Xn)：| 一 Go,(1)求此检验犯第一类错误概率为时,犯第二类错误的概率，并讨论它们之间的关系；(2)设o=o.o5, o=o.oo4 ,=o.o5, n=9,求 =o.65时不犯第二类错误的概率_2解：(1)在Ho成立的条件下，一 N( 0,)，此时nFo(co) Fo o . no . n丛无二氏口，由此式解出，二牛必_业+4在修成立的条件下，F- Nj,武），此时 n户.片（F 分）=片幺6%二1cpo/）51%=%由此可知，当值增加时，*“减小，从而/?减小？反之当?减少时，则尸增加.（2）不犯第二类错误的概率为1-二1-Q 心屈0.65-0.5。二 1 一中（/*方3）=I-（.6053 （口605卜 072747.4设一个单一观测的J子样取自分布密度函数为人工）的母体，对/（）考虑统计假设工多工（用=1 0xl。其他“1 ：/（口=2x 0 x 10其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足以+ 2Q = min,并求其最小值。解设检验函数为（C为检验的拒绝域） + 2/? = （XC）+ 2（XC）=wc）+2l - 片（工 G c）= E（x） + 2-E（x）I=J旗工）dx + 2（1 - J工呐工妙）001=2 +j（1 - 4灯（*）4工要使 cr+ 2/?= min ,当 1一4工2 0时, （x） = 014 ,此时,14122(1 4x)dx07.5设某产品指标服从正态分布，它的根方差测得指标的平均值为1637小时，问在当 1 4x 0 时，(x) 11 x所以检验函数应取(x)0 x已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了 26个,5%勺显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时？解总体N( ,1502),对假设，Ho：1600,采用U检验法，在Ho为真时，检验统计量u Vn 1.25780临界值 U1 /2 U0.9751.96|u| Ui /2 ,故接受 H。7.6某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64,根方差保持在0.06,改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为 2.62,根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平=0.01 。解设改变工艺后电器的电阻为随机变量，则E 未知，D (0.06)2,假设为H0:2.64,统计量u Tn3.33由于Ui一 /2 U0.995 2.10 |U|,故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。7.7有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下:实验号12345678甲4.33.283.53.54.83.33.9乙3.74.13.83.84.63.92.84.4试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？解此问题可以归结为判断Xi x2是否服从正态分布N(0, 2),其中2未知，即要检验假设H。：0由t检验的统计量t010而0.389S*0.727取 =0.10,又由于，t0.95(7) 1,8946 |t|,故接受 H07.8 某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为 0.973根，每台布机的平均断头率 的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低 20%在200台布机上进行实验，结果平均 每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16,问新的上浆率能否推广？取显著性水平 0.05。解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及s；20.16 2,问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验H0:E 0.973H1:E 0,973由于D未知，且n较大，用t检验，统计量为,0 ,0,994 0,973 :,tn ,: 200 1.856sn0.16查表知t0.95（199） 1.645 ,故拒绝原假设，不能推广。7.9 在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为 (X1,X2,L ,X10), (y1,y2,L，乂。)，假设作物产量服 从正态分布，并计算得X 30.97, y 21.79, Sx 26.7, Sy 12.1取显著性水平0.01,问是否可认为两 个品种的产量没有显著性差别？解 甲作物产量N( 1, 12),乙作物产量 N( 2, 2),即要检验由于12,；未知，要用两子样t检验来检验假设H。： 122,由F检验，统计量为Fs;2/S226.7212 12 4.869%995（9,9）6.54 （取显著性水平 0.01）故接受假设H0： 22 ,于是对于要检验的假设H0： 12取统计量0.99xyn1n2（n1n22）又 0.01 时，t0.995（18）（；1 1）s1*21）S2 n1n22.878 |t|,所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。7.10 有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品 直径为(单位：mm：甲 20.5 , 19.8 , 19.7 , 20.4 , 20.1 , 20.0。19.6 , 19.9乙 19.7 , 20.8 , 20.5 , 19.8 , 19.4 , 20.6 , 19.2 。试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为 0.05。解：假定甲产品直径服从N( 1, 12),由子样观察值计算得X 20.00, sn2 (0.3207)2 0.1029。乙产品直径服从N( 2,；),由子样观察值计算得y 20.00, 0.3967。要比较两台机床加工的精度，既要检验H。：由F-检验*2 sm 五 sn20.10290.39670.25940.05 时查表得：F0.975（7.6） 5.70,F0.025（7.6）1F0.975（6.7）15.120.1953由于F0.025(7.6)F F0.975(7.6),所以接受H0,即不能认为两台机床的加工精度有显著差异7.11 随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为(cmj)2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值的90%勺置信区问(1) 0.01cm；(2) 未知解(1)由子样函数UVn : N(0,1), p(|U | u0.95) 0.90,可求的置信区问置信下限U0.95U0.95、n2.121置信上限2.129 在 未知时，由子样函数t Vn : t(n 1), p(|t| t095(n 1) 0.90可 求得置信区问Sn*置信下 BM t0.95(15居 2.1175，n_ _ _ *置信上 BM t095(15)sn 2.1325、 n7.12包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为9.9 10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.8 10.3假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量求置信水平为95%勺区间估计 解 由于 未知，用统计量t -Vn： t(n 1),计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信上限Sn*为-0.975( )Sn 10.2556,下限为-0.975)Sl9.9284、n，n7.13随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计S211 (米/秒)2,设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差和方差2的置信水平为90%勺置信区问解选取统计量(n 1)Sn2 . 2:2(n 1),可得2的置信区间为:(n 1)S2(n 1)s；2 )I 12 /2(n 1), 2/2(n 1)，(5.6749,32.199)因为p(一一 *2*2 (n 1)Sn、( (n 1)Sn2/2(n 1) .Fl1、(n 1)S* ) .2/2(n 1)故，标准差的置信区间取方差的根方即可。7.14假设六个整数1,2,3,4,5, 6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1 ,2,3,4,5, 6的次数分别为13, 19, 11, 8, 5, 4。问在5%勺显著性水平下是否可以认为下列假设成立:1H0:p(1) p( 2) L p( 6) -o6解：用2拟合优度检验，如果H。成立26 (n np)2i 1 np2(5)列表计算2的观察值:组数i频数ninPini nPiHi2 /吨 /nPi1131030.92191098.13111010.14810-20.45510-52.56410-63.6215.6 ,0.95=11.07由于20295(5),所以拒绝H。即等概率的假设不成立。7.15 对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下:测试电压 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8击穿频数1 1 1