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第12章 数的开方1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。(也叫做二次方根)即:若x2=a,则x叫做a的平方根。2、平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根。它们互为相反数;(2)零的平方根是零;(3)负数没有平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质:(1)一个正数的算术平方根只有一个为正;(2)零的算术平方根是零;(3)负数没有算术平方根;(4)算术平方根的非负性:0。三、平方根和算术平方根是记号:平方根(读作:正负根号a);算术平方根(读作根号a)即:“”表示a的平方根,或者表示求a的平方根;“”表示a的算术平方根,或者表示求a的算术平方根。其中a叫做被开方数。负数没有平方根,被开方数a必须为非负数,即:a0。四、开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。其实质就是:已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。(也叫做三次方根)即:若x3=a,则x叫做a的立方根。2、立方根的性质:(1)一个正数的立方根为正;(2)一个负数的立方根为负;(3)零的立方根是零。3、立方根的记号:(读作:三次根号a),a称为被开方数,“3”称为根指数。中的被开方数a的取值范围是:a为全体实数。六、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。其实质就是:已知指数和三次幂求底数的运算。七、注意事项:1、“”、“”、“”的实质意义:“”问:哪个数的平方是a;“”问:哪个非负数的平方是a;“”问:哪个数的立方是a。2、注意和中的a的取值范围的应用。如:若有意义,则x取值范围是 。(x-30,x3)(填:x3) 若有意义,则x取值范围是 。(填:全体实数)3、。如:,4、对于几个算数平方根比较大小,被开方数越大,其算数平方根的值也越大。如:等。2和3怎么比较大小?(你知道吗?不知道就问!)5、算数平方根取值范围的确定方法:关键:找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。如:确定的取值范围。,23。6、几个常见的算数平方根的值:,。八、补充的二次根式的部分内容1、二次根式的定义:形如(a0)的式子,叫做二次根式。2、二次根式的性质:(1)(a0,b0);(2) (a0,b0);(3) (a0); (4) 3、二次根式的乘除法:(1)乘法:(a0,b0);(2)除法:(a0,b0)。12.2实数与数轴一、无理数1、无理数定义:无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数:(1)开方开不尽的数。如:,等。(2)“”类的数。如:,等。(3)无限不循环小数。如:2.1010010001,-0.234242242224,等二、实数1、实数定义:有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念:(1)相反数:实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数,则a+b=0。(2)倒 数:非零实数a的倒数为(a0)。若实数a、b互为倒数,则ab=1。(3)绝对值:实数a的绝对值为:3、实数的运算:有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类:(1)按照正负性分为:正实数、零、负实数三类。(2)按照定义分为:5、几个“非负数”:(1)a20; (2)|a|0; (3)0。6、实数与数轴上的点是一一对应关系。第13章 整式的乘除13.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则:amanap=am+n+p+(m、n、p均为正整数) 文字:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。如:234=2+3+4=9;(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25;()3()4=()3+4=()7;(a+b)3(a+b)4(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8(2)一定要“同底数幂”“相乘”时,才能把指数相加。(3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。二、幂的乘方1、法则:(am)n=amn(m、n均为正整数)。推广:(am)nps=amn p s 文字:幂的乘方,底数不变,指数相乘。2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。如:(2)3=23=6;()34=()34=()12;(a-b)24= (a-b)24=(a-b)8(2)运用时注意符号的变化。(3)注意该法则的逆应用,即:amn= (am)n,如:a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则:(ab)n=anbn(n为正整数)。推广:(acde)n=ancndnen 文字:积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如:(2)3=222=42;()2=()2()2=23=6;(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3;(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2(2)运用时注意符号的变化。(3)注意该法则的逆应用,即:anbn =(ab)n;如:2333= (23)3=63,(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则:aman=am-n(m、n均为正整数,mn,a0) 文字:同底数幂相除,底数不变,指数相减。2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。如:43=4-3=;(-2)5(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4;()6()4=()6-4=()2=2;(a+b)16(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2(2)注意a0这个条件。(3)注意该法则的逆应用,即:am-n = aman;如:a x-y= axay,(x+y)2a-3=(x+y)2a(x+y)313.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则:单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。如:(-5a2b2)(-4 b2c)(-ab)=(-5)(-4)(-)(a2a)(b2b2)c =-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则:(乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。如:(-3x2)(-x2)+(-3x2)2 x一(-3x2)1=三、多项式与多项式相乘法则:(1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加。如:(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项式的每一项,再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘,最后将所得的积相加。如:(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb13.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;名称:平方差公式。2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如:(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19;(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2;(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2;(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。(3)注意公式的来源还是“多项式多项式”。二、完全平方公式1、公式:(ab)2=a22a b+b2;名称:完全平方公式。2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如:(+3)2=()2+23+32=2+6+9=11+6;(mn-a) 2=(mn)2-2mna+ a2= m2n2-2mna+ a2;( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2;(2)注意公式运用时的对位“套用”;(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充公式:(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒:利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:“一看二套三计算”。13.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则:单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。如:-21a2b3c3ab=(-213)a2-1b3-1c =-7ab2c(2x2y)3(-7xy2)14x4y3 =8x6y3(-7xy2)14x4y3=8(-7)x6+1y3+214x4y3 =(-5614)x7-4y5-3=-4x3y25(2a+b)4(2a+b)2=(51)(2a+b)4-2=5(2a+bz2=5(4a2+4ab+b2)=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则:(乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得的商相加。如:(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)=4y-2x整式的运算顺序:先乘方(开方),再乘除,最后加减,括号优先。13.5 因式分解一、因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。(分解因式)因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法:把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义:多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤:(1)“看”。观察各项是否有公因式;(2)“隔”。把每项的公因式“隔离”出来;(3)“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数);(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数);如:8a2b-4ab+2a=2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1);-5 a2+25 a=-5 aa+5a5=-5 a(a+5)(注意:凡给出的多项式的“首项为负”时,要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法:利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。1、平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b);名称:平方差公式。注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如:102-92 =(10+9)(10-9)=191=19;4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a);(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。(3)注意公式的结构好形式,运用时一定要
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