常州市2015届高三第一学期期末调研测试 数学试题 2015年2月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上（第6题）1 设集合，则= 2 设复数（，i为虚数单位），若，则的值为 3 已知双曲线的离心率为，则实数a的值为 4 函数的定义域为 5 函数的最小正周期为 6 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 7 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 8 若实数满足约束条件则目标函数的最小值为 9 曲线在点处的切线方程为 10 已知函数，则函数的值域为 11 已知向量，设向量满足，则的最大值为 12 设等比数列的公比为（），前n项和为，若，且与的等差中项为，则 13 若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为 14 在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，两点的横坐标之积为6，设圆与圆相交于，两点，直线：，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知， （1）求的值；（2）求的值；（3）若，求ABC的面积16（本小题满分14分）（第16题）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD平面 ABCD， PB=PD，分别是，的中点，连结求证： （1）平面； （2）平面17（本小题满分14分） 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m2）（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值18（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点（1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由 19（本小题满分16分）已知数列（，）满足， 其中，（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；（2）设集合若，求证：；是否存在实数，使，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分） 已知为实数，函数，函数 （1）当时，令，求函数的极值； （2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数 定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由 数学（附加题） 2015年2月21【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（第21-A题）A选修41：几何证明选讲 已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一 点，PC是的平分线，是下半圆的中点.求证：直线PC经过点.B选修42：矩阵与变换 已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数， 是非零的平面列向量，求矩阵.C选修44：坐标系与参数方程已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程. D选修45：不等式选讲已知，证明：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.23（本小题满分10分） 设个正数满足（且）（1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明常州市教育学会学生学业水平监测参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 2 38 4 5 6127 7 81 9 10 11 12 13 14 二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1）因为，所以 2分又由正弦定理，得， ，化简得， 5分（2）因为，所以所以 8分（3）因为，所以 10分因为，所以12分因为， ，所以所以ABC的面积 14分16证明：（1）连结AC， 因为ABCD 是平行四边形，所以O为的中点 2分 在中，因为，分别是，的中点， 所以 4分 因为平面，平面， 所以平面 6分 （2）连结因为是的中点，PB=PD，所以POBD又因为平面PBD平面ABCD，平面平 面=，平面所以平面 从而8分 又因为，,平面，平面， 所以平面 因为平面，所以 10分因为，所以 12分又因为平面，平面，, 所以平面 14分17解：（1）由题设，得， 6分（2）因为，所以， 8分当且仅当时等号成立 10分从而 12分答：当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2 14分18 解：（1）由题设，得解得从而，所以椭圆的标准方程为 4分（2）令，则，或者，当，时，；当，时，所以，满足题意的定直线只能是 6分下面证明点恒在直线上设，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上 8分由得， 10分， 13分式代入上式，得， 所以 15分点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点， 所以存在一条定直线：使得点恒在直线上 16分19解：（1）当时， 2分因为，或，所以 4分（2）由题意， 6分令，得因为，所以令，则 8分 不存在实数，使，同时属于 9分 假设存在实数，使，同时属于，从而 11分因为，同时属于，所以存在三个不同的整数（），使得 从而 则 13分因为与互质，且与为整数，所以，但，矛盾 所以不存在实数，使，都属于 16分20解：（1），令，得 1分列表：x0 + 极小值 所以的极小值为，无极大值 4分（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立 5分1）当时， 可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；（*）则，令，则时，因为， 故，所以函数在时单调递减，即，从而函数在时单调递增，故，所以（*）成立，满足题意； 7分当时，因为，所以，记，则当时，故，所以函数在时单调递增，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立； 所以当，恒成立时，； 9分2）当时，可化为，令，问题转化为：对任意的恒成立；（*）则，令，则时，故，所以函数在时单调递增，即，从而函数在时单调递增，所以，此时（*）成立；11分当时，）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立； 13分）若，则，所以当时，故函数在上单调递减，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；所以当，恒成立时，； 15分综上所述，当，恒成立时，