第三章空间向量与立体几何单元测试(时间：90分钟满分：120分)第I卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1 .以下四组向量中，互相平行的组数为()a = (2,2,1), b=(3, 2, 2);a=(8,4, 6), b = (4,2, 3); a=(0, 1,1), b = (0,3, 3);a = ( 3,2,0), b=(4, -3,3)A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组解析：:中 a = 2b,. a/b;中 a=fb,3.a/b;而中的向量不平行.答案：B2 .在以下命题中，不正确的个数为()|a| |b| =|a + b|是a, b共线的充要条件；若all b,则存在唯一一 的实数N使a= ?b；对空间任意一点。和不共线的三点A, B, C,若OP = 2OA-2OB-OC,则P, A, B, C四点共面；若a, b, c为空间的一组 基底，则a+b,b+c, c+ a构成空间的另一组基底；|(a b) c| =| a| |b| |c|.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解析：|a| | b| =|a + b|a与b共线，但a与b共线时|a| | b| =| a + b|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2-2 11由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的 数量积的性质知，不正确.答案：C3 .如图，已知四边形 ABCD为矩形，PL平面ABCQ连接AC, BD,PB, PC, PD,则下列各组向量中，数量积不一定为零的是 （）与BD与PB与AB与CD解析：建立如图所示的空间直角坐标系.设矩形ABCD的长、宽分别为a, b, PA长为c,则A(0,0,0), B(b,0,0), D(0, a,0), C(b, a,0), P(0,0, c).则PC= (b, a, c), BD= (b, a,0), DA= (0, a, 0), PB= (b,0,一c), PD=(0, a, c), AB= (b,0,0), PA= (0,0, c), CD= (-b,0,0).PCBD= b2 + a2不一定为 0.DA PB= 0, PDAB= 0, PACD= 0.答案：A4 .已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且 a = 3e1 + 2e2 e31 b=e+2e3,则(6a) 2b 等于(B. 3D. 5A. 15C. -3解析：(6a)2b = 3a b = 3(3e1 + 2e e3) (e1 + 2e3) = 9| e112 一 6| e3|2=3.答案：B5 .如图，AB= AC= BD= 1, AB 面 & AC1面 & BD AB, BD 与面 B. 2成30角，则C、D间的距离为()A. 1解析：| CQ 2= | CA+ AB+ BD|2 = | CA| 2+ | AB|2 + | BD|2 + 2CAAB + 2ABBD+ 2CABD= 1 + 1 + 1 + 0+ 0 + 2X 1 乂 1 Xcos1202./. | CD| =V2.答案：C6 .已知空间三点 O(0,0,0), A(- 1,1,0), B(0,1,1渔直线OA上有一点H 满足BHI OA,则点H的坐标为()A. ( 2,2,0)B.(2, -2,0)解析：由OA= ( 1,1,0),且点H在直线OA上，可设H( N % 0),则BH= (一 k 1, - 1).又 BH，OA,.BH OA= 0,即(一N 入1, -1)(- 1,1,0)= 0,11 1即入 +入- 1 =。，解得上2， - H - 25 2，0 .答案：C7.已知 a = (cos& 1, sin。，b = (sin% 1, cos。，则向量 a+b与 a b的夹角是()A. 90B. 60C. 30D. 0角军: (a + b) (a b)= a? b2 = (coS %+ sin %+ 1) (sin %+ 1 + coS %)= 0, /. (a+b)(a-b).答案：A8.已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BG CC的中点，则截面AEFD与底面ABCD所成二面角白正弦值是()解析：以D为坐标原点，以DA、DC DDi分别为x轴、y轴、z轴建立1 . 一1仝间直角坐标系，如图.则 A(1,0,0), E, 1, 0 , F0, 1, 2 , Di(0,0,1), l一一 1所以AD1 = (1,0,1), AE= 2, 1, 0.设平面AEFD的法向量为n=(x, y, z),n AD1= 0,x+z= 0,x -2+y= 0. .x= 2y= z.取y=1,则n=(2,1,2),而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1),cosn, u =2,sinn, u 33答案：C9.在三棱锥P-ABC中， ABC为等边三角形，PA1平面ABQ且PA=AB,则二面角A-PBC的平面角的正切值为()解析：设PLAB= 2,建立如图所示的空间直角坐标系.则 B(0,2,0), q 3, 1,0), P(0,0,2),-BP= (0, 2,2),BC=(小,1,0).设n = (x, y, z)是平面PBC的一个法向量.BP n = 0,-2y+ 2z= 0, a/3xy= 0.人f3令 y=1,则 x=, z= 1.3即 n=1，1 .易知m = (1,0,0)是平面PAB的一个法向量.贝U cosm, nm nI m| n|正切值tanm, n =乖.答案：A77710.已知 OA= (1,2,3), OB= (2,1,2), OP= (1,1,2),点 Q 在直线 OP上运动，则当QA QBt得最小彳1时，点Q的坐标为()一解析：:、在 OP上，.可设 Q(x, x,2x),则QA= (1-x,2-x,3-2x),一QB= (2-x,1-x,2-2x).QA QB= 6x216x+10,47.x=鼻时,QA QBM小,34 4 8匚时 Q 3，3，3 .答案：C第II卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.已知 a = (3, 2, 3), b=(1, x1,1),且 a 与 b 的夹角为钝 角，则x的取值范围是:解析：因为a与b的夹角为钝角，于是一1 0,因此ab = 1.解得 x -2, 7 U 7, 十.33答案：2, 5 U 5, + 0033Ac12.如图所示，已知正四面体 A-BCD中，DE和BF所成的角的余弦值为. 1 解析：ED= EA+ AD= BA+ AD,77 7T 1 BF= BC+ CF= BO 4CD,EDBFcosED, BF= 一一|ED冏1 1 74BA+ AD -BC+ CD为A+ AD2 a / BC+ CD2_4_=13答案：14313.已知 a = (x,2, 4), b=(-1, y,3), 两两垂直，则(x, y, z)=.11-AE= AB, CF= CD,则直线c=(1, 2, z),且 a, b, cAx+2y12=0,解析：由题意知x-4-4z= 0,-1-2y+3z=0,解得x= - 64,y= 26, z= 17.答案：（64, 26,-17)14.已知空间四边形OABC如图所示，其对角线为OR AC, M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN,现用基向量OA、OB、OCg示向量 OG,并设 OG= xOA+ y OB+ z OC,则 x、y、z 的和为112OA+ OC+ -CB1= 2OA1313解析：og= om + mg=20a+ 4mn=oa+ 43333133-80A+ 4OC+ 8OB- 8OC= 80A+ 8OB+ 8OC，.133. x= 8, y=8, Z= 8.7 x+ y + z= 8.答案：8三、解答题：本大题共4小题，满分50分.15. （12 分）已知 a=（1,2, 2）.求与a共线的单位向量b;（2）若a与单位向量c=（0, m, n）垂直，求m、n的值.解：（1）设b =（九2% 2?）,而b为单位向量， | b| = 1,即 片 + 4 %+4 先=9%=1.二入=9.（4分）1 2212 2 八b=3，3, 3或6= 3, 3, 3.（6 分）（2）由题意，知a c= 0|c| = 11 x32m 2n = 0,dm2 + n2+ 02 = 1,（12 分）2 m= 2 解得 -2n一 2，16. （12 分）如下（左）图，在 RtAABC中，/C= 90 , BC= 3, AC= 6, D,E分别为AC AB上的点，且DE/ BC, 的位置，使A1C CD,如下（右）图.DE= 2,将AADE沿 DE折起至（ A1DE求证：AC，平面BCDE若M是AiD的中点，求CM与平面AiBE所成角的大小.解：(1)vACBQ DE/ BC,.DEIACDEIAiD, DECD,.DE面 AiDCDEI AiC.又. AiC，CD,AiC，平面 BCDE(4分)(2)如图所示，以 C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz,则Ai(0,0,2 3), D(0,2,0), M(0,i, ,3), B(3,0,0), E(2,2,0).设平面AiBE的法向量为n=(x, y, z),则nAiB= 0, n BE= 0.一又 AiB= (3,0, 2,3),一BE= (1,2,0),3x 2 .3z= 0,x+2y=0.令 y=i,则 x= 2, z= V3, . .n=(2,i, V3).设CM与平面Ai BE所成的角为0.4=V2V8a/4- 2 . CM=(0,1, Si sin 0= |cosn,nCMCM| = |n| |CM|一 ,一一任 一CM与平面AiBE所成角的大小为4.(12分)17. (12分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEFff在的平面互相垂直, A