8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O，连接AD、BC。结论：A+D=B+C。模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图，A+B+C+D+E= ；（2）如图，A+B+C+D+E+F= 。热搜精练1（1）如图，求CAD+B+C+D+E= ；（2）如图，求CAD+B+ACE+D+E= 。2如图，求A+B+C+D+E+F+G+H= 。模型2 角的飞镖模型如图所示，有结论：D=A+B+C。模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分DAB和DCB，AM与CM交于M。探究AMC与B、D间的数量关系。热搜精练1如图，求A+B+C+D+E+F= ；2如图，求A+B+C+D = 。模型3 边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。结论：AC+BDAD+BC。模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：（1）AB+BC+CD+ADAC+BD；（2）AB+BC+CD+ADBD+CD。模型实例如图，点O为三角形内部一点。求证：（1）2（AO+BO+CO）AB+BC+AC；（2）AB+BC+ACAO+BO+CO. 热搜精练1如图，在ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+ACAD+AE。2观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。（1）如图，ABC中，P为边BC上一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图，将（1）中的点P移至ABC内，请比较BPC的周长与ABC的周长的大小，并说明理由；（3）图将（2）中的点P变为P1、P2，请比较四边形BP1P2C的周长与ABC的周长的大小，并说明理由。第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PAOM于点A，PBON于点B。结论：PB=PA。模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型实例（1）如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 ；（2）如图，1=2，+3=4。 求证：AP平分BAC。热搜精练1如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BAD+BCD=180。2如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP= 。模型2 截取构造对称全等 如图，P是MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。结论：OPBOPA。模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。模型实例（1）如图所示，在ABC中，AD是ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图所示， AD是ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。热搜精练1已知，在ABC中，A=2B，CD是ACB的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC的长。2已知，在ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。 求证：BC=AB+CD。3如图所示，在ABC中，A=100，A=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是MO的平分线上一点，APOP于P点，延长AP于点B。结论：AOB是等腰三角形。模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。模型实例如图，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为E。求证：BD=2CE。热搜精练1如图，在ABC中，BE是角平分线，ADBE，垂足为D。求证：2=1+C。2如图，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于点E。 求证：BE=（AC-AB）。模型4 角平分线+平行线如图，P是MO的平分线上一点，过点P作PQON，交OM于点Q。结论：POQ是等腰三角形。模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。模型实例解答下列问题：（1）如图所示，在ABC中，EFBC，点D在EF上，BD、CD分别平分ABC、ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；（2）如图所示，BD平分ABC、CD平分ACG，DEBC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。（3）如图所示，BD、CD分别为外角CBM、BCN的平分线，DEBC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？ 热搜精练1 如图，在ABC中，ABC、ACB 的平分线交于点E，过点E作EFBC，交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为 。2如图，在ABC中，AD平分BAC，点E、F分别在BD、AD上，EFAB，且DE=CD。求证：EF=AC。3如图，梯形ABCD中，ADBC，点E在CD上，且AE平分BAD，BE平分ABC。求证：AD=AB-BC。第三章 截长补短模型 截长补短如图，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。截长法：如图，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。补短法：如图，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。模型实例例1如图，已知在ABC中，C=2B，AD平分BAC交BC于点D。求证：AB=AC+CD。例2如图，已知OD平分AOB，DCOA于点C，A=GBD。求证：AO+BO=2CO。热搜精练1如图，在ABC中，BAC=60，AD是BAC的平分线，且AC=AB+BD。求ABC的度数。2如图，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB。求证：AC=AE+CD。3如图，ABC+BCD=180，BE、CE分别平分ABC、BCD。求证：AB+CD=BC。4如图，在ABC中，ABC=90，AD平分BAC交BC于点D，C=30， BEAD于点E。求证：AC-AB=2BE。5如图，RtABC中，AC=BC，AD平分BAC交BC于点D，CEAD交AD于F点，交AB于点E。求证：AD=2DF+CE。6如图，五边形ABCDE中，AB=AC，BC+DE=CD，B+E=180。求证：AD平分CDE。第四章 手拉手模型模型 手拉手如图，ABC是等腰三角形、ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=。结论：BADCAE。模型分析手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。模型实例例1如图，ADC与EDC都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问（1）AG与CE是否相等？（2）AG与CE之间的夹角为多少度？例2如图，直线AB的同一侧作ABD和BCE都为等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H。求证：（1）ABEDBC；（2）AE=DC；（3）DHA=60；（4）AGBDFB；（5）EGBCFB；（6）连接GF，GFAC；（7）连接HB，HB平分AHC。热搜精练1如图，在ABC中，AB=CB，ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。（1）求证：BE=BF；（2）若CAE=30，求ACF度数。2如图，ABD与BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点H证明：（1）AE=DC；（2）AHD=60；（3）连接HB，HB平分AHC。3在线段AE同侧作等边CDE（ACE120），点P与点M分别是线段BE和AD的中点。求证：CPM是等边三角形。4将等腰RtABC和等腰RtADE按图方式放置，A=90，AD边与AB边重合，AB=2AD=4。将ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0180），BD的延长线交CE于P。（1）如图，证明：BD=CE，BDCE；（2）如图，在旋转的过程中，当ADBD时，求出CP的长。第五章 三垂直全等模型模型 三垂直全等模型如图，D=BCA=E=90，BC=AC。 结论：RtBCDRtCAE。模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图和图就是我们经常会见到的两种弦图。三垂直图形变形如下图、图，这也是由弦图演变而来的。模型实例例1如图，ABBC，CDBC，AEDE，AE=DE。求证：AB+CD=BC。例2如图，ACB-90，AC=BC，BECE于点D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。求DE的长。例3如图，在平面直角坐标系中，等腰RtABC有两个顶点在坐标轴上， 求第三个顶点的坐标。热搜精练1如图，正方形ABCD，BE=CF。求证：（1）AE=BF；（2）AEBF。2直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是 。3已知，ABC中，BAC-90，AB=AC，点P为BC上一动点（B PC