统计与概率的教学策略节选自教学数学教学策略 张丹 著统计与概率的内容在新课程中得到了较大重视，经过几年的实践教师们在教学中积累了丰富的策略，当然也产生了一些困惑。目前已经完成的义务教育数学课程标准修订稿对这部分做了一些调整，因此本文将在主要阐述标准要求的基础上渗透修订的精神。在课程标准修订中，确定了数据分析观念的核心词，对小学阶段统计的内容做了一些调整，同时减少了可能性的内容。但对于“随机”的学习并没有减弱，而是换了一个角度，从数据的角度体会随机，同时将数据随机作为了数据分析观念的内涵之一。本章分为两节，第一节，概述了统计与概率的内涵、教育价值和教学原则等，这是确定教学策略的基础，也是整体把握小学数学课程的应有之义。第二节将围绕了数据分析观念这个核心词对于小学统计教学提出具体策略和建议。第一节 统计与概率的教学概述一、统计与概率的内涵数据能够帮助我们认识世界、做出决策和预测，而统计正是与数据打交道的科学，它是在人们对现实生活中数据资料的收集、整理、分析的过程中发展起来的。这里引用不列颠百科全书对统计学的一个定义：“统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术”。定义中有三个核心词，第一，数据。“数据”和“数”的区别是数据应有实际背景，而“数”并不一定。从这个意义上就可以理解为什么把“统计”从过去“数的运算”单独出来，成为一个独立的学习领域，统计正是通过数据处理来提取信息从而帮助人们进行决策。进一步，“随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不仅仅是数，图是数据、语句也是数据。只要蕴含着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据”史宁中，张丹，赵迪. “数据分析观念”的内涵及教学建议J.课程教材教法.2008(6)。第二，收集和分析数据。运用统计处理数据的步骤一般包括：确定需要解决的问题；决定收集数据的方法并收集数据；整理并尽可能清晰地描述数据；分析数据，并做出决策和推断。第三，科学和艺术。统计学有其科学的一方面，但也有艺术的一方面。对于同样的数据，由于背景和目标不同可以有多种分析的方法，需要根据问题背景选择合适的方法。也就是统计的方法没有简单意义上的对和错，只有“好”和“不好”。 对于前两个方面广大教师通过学习和实践已经有了普遍认识，可能对第三方面还不熟悉。这里不妨来举一个案例，这是三年级教学平均数的一个片段。案例1 孩子的想法有道理吗课前教师以组为单位统计了这个班同学一分钟踢毽子的情况，并从中引用了以下两组数据在课上讨论：第三小组：25、23、34、30、47、25、26第五小组：25、31、40、33、29、31然后提出问题：请你来评判一下，哪个小组踢的好？（我们以为学生肯定会想到用第三小组平均数和第五小组的平均数来比较，然而学生却出现了很多想法，下面列举出来。）（1）我可以比较两个队中踢的最高的，也就是拿第三小组最多的那个和第五小组踢最多的去比，所以第三个小组踢得好。（2）比较总数。（这个观点很容易就被其他同学否定了，觉得不公平）。（3）我可以一个一个的比，把最高的比完了，比第二高的。就是第三小组的第一名和第五小组的第一名俩俩比，然后第二名两两比，就是一个一个的对应的去比。（4）既然人数不一样，就把第五小组再增加一个或者是把第三小组去掉一个。（5）跟前面那个一个一个比差不多，比完了以后发现第三小组只有前两名比第五小组的好，其他的都不如第五小组的好。（6）用总数除以每个组的人数，也就是用平均数来比。这个案例引发了不少讨论。第一，学生这么多方法都有道理吗？第二，有的教师会说这节课的目标是认识平均数，课堂上是否是有必要花这么长时间讨论不同的方法，反而冲淡了对平均数的理解。其实，这个案例正好帮助我们理解刚才提到的，同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。“要判断哪个组拍得好，首先得定义什么叫好。好的标准跟研究的目的有关。如果是提倡全民运动的话，当然大家平均下来都拍得多比较好；如果目的是选拔拔尖学生的话，当然哪组有人拍的最多就好。所要研究的问题、要达到的目标不同，选择的方法也会不同。史宁中，张丹，赵迪. “数据分析观念”的内涵及教学建议J.课程教材教法.2008(6)”那么，花这个时间值不值？这牵扯到教师对于本节课甚至是统计教学目标的理解。如果认为这节课就是在讲计算平均数，教师的直接讲授和学生练习就是一个好的方法；如果认为这节课的目标还应包括对平均数意义的理解，那么就要把平均数放在实际背景中去应用，但也似乎不必需要时间来讨论其他方法；但是，如果认为平均数的教学是放在整个统计教学中的，这节课还有一个目标是帮助学生体会统计处理问题的特点，那么这个讨论就是有价值的。当然，不同的人会有不同的选择，也不是在所有的课中都要全面体现统计的内涵，只是希望教师能对统计的内涵有一个初步认识，这样在进行教学时就能有更宽的视野。最初统计工作的目的就是了解统计对象的概况、现状和趋势，所涉及的数学方法几乎都是算术的知识。处于这个水平的统计工作存在着一些很明显的缺陷，其中重要的一条是它必须观测统计对象的每一个个体。随着科学技术的进步和社会的发展，现实世界中的数量关系越来越复杂，人们不可能也没有必要将涉及某一数量关系的所有数据都收集到，而经常会根据部分数据对总体所具有的规律做出“推断”，为了使这种推断科学化，就需要概率来帮忙了。概率是研究随机现象的科学，人们逐渐认识到生活中大量存在着随机现象，并且认识到这些现象表面看无规律可循，在相同的条件下出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复试验时，试验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。如掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数是随机的，但大量重复投掷骰子，点数的分布会呈现某种规律（即所有掷出点数的频率均稳定在1/6）。于是人们希望寻找随机现象的规律。如果也用一句话来描述概率的话，概率是从数量上研究随机性的学科，它从偶然性因素和影响中寻求必然的数量规律，并对这些偶然性影响给以数量的刻画和分析。统计在收集数据和运用数据做出推断等方面吸收了概率的成果和方法，产生了以抽样为特征的数理统计学。数理统计学是运用统计方法研究随机现象、描述随机现象总体趋势的数学模型，它不把注意力停留在个别现象的特征上，而是了解大量随机现象的总体变化趋势，并由此得出随机现象的统计规律，进而获得关于社会发展、科学发现的统计预测。最后，再简单地分析一下统计与概率的关系。实际上，统计与概率都是研究随机现象的学科。“不论怎么说，机遇（或说偶然性)无所不在，机遇伴随着人的一生(当然随人的情况而有异)，这是一个无法回避的现实” 陈希孺.机会的数学M.北京：清华大学出版社，广州：暨南大学出版社，2000：3。统计与概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随机，概率侧重于建立理论模型来刻画随机。另一方面，概率为统计提供了理论基础。在运用样本估计总体的过程中，抽样的合理性、样本推断总体的合理性，包括犯错误的风险，都需要概率的知识来提供科学依据（这在下文还要论述）。“机遇(机会)的数学，它包含数学中的两个学科分支概率论和数理统计学。大体上说，前者属于机遇数量化的理论基础。而后者则是其应用。 陈希孺.机会的数学M.北京：清华大学出版社，广州：暨南大学出版社，2000：5”二、统计与概率课程的教育价值由上可以看出，客观地提炼和表述现实世界中广泛存在的随机信息，准确地分析和把握随机信息中关键因素的规律性，科学地应用数据做出正确决策是统计与概率的主要任务，而这也构成了在义务教育阶段学习统计与概率的重要原因。具体来说，学习统计与概率将有助于学生适应现代社会的需要；有助于培养学生形成运用数据进行推断的思考方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。1有助于学生适应现代社会的需要义务教育的重要目标是培养适应现代生活的合格公民。而在以信息和技术为基础的现代社会里，充满着大量的数据和随机现象，各种信息量成倍地增长，需要人们面对它们做出合理的决策。事实上，每个人几乎每天都会遇到需要判断和推测的事情。在商店购物时，要对商店的信誉做出判断；出门时，要对未来的天气做出预测；上班时，要对上班路线及交通工具做出选择；对于商业部门管理人员来说，经营哪种商品需要估计风险、利润；许多公共政策的制定都需要基于对数据进行分析；至于抽样方法在验货、检查产品质量时不可避免地要用到；各种保险、商品有奖销售、股票行情这些与数据、机会联系在一起的现象成为街头巷尾议论的热题。总之，生活已先于数学课程将统计与概率推到了学生的面前，统计与概率的思想已渗入人们日常生活和社会生活的方方面面。众多的例子表明，随着计算机等信息技术的飞速发展，数据日益成为一种重要的信息，21世纪的公民面临着更多的机会和挑战，常常需要在不确定情境中，根据大量无组织的数据，做出合理的决策，这就需要人们能对纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，具有一定的收集与处理信息、做出决策的能力，并且能够进行有效的表达与交流。而统计与概率正是通过对数据的收集、整理和分析，来为人们更好的制定决策提供依据和建议。因此，要培养学生具有收集并处理数据、做出恰当的选择和判断的能力，以适应现代社会的发展，就必须将统计与概率的基本思想、方法和知识作为义务教育阶段数学课程的重要组成部分。统计与概率的学习必将为数学与学生的日常生活及其他学科联系起来提供一条自然的途径。2有助于培养学生形成运用数据进行推断的思考方式除了能解决实际问题以外，统计与概率还提供了“运用数据进行推断”的思考方式，这种思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式，它主要包括两个方面的内涵：一方面，应用统计与概率方法由部分推断总体具有随机性，用统计与概率来解决的问题，其结论往往是以不确定现象和不完全的信息作为依据，这样的结论是可能犯错误的，这一思想方法与确定性思维存在着很大的差异。但统计与概率的基本思想又是一种重要的思维方式，它和确定性思维一样成为人们不可缺少的思想武器，由样本数据进行推断同样也是有力而普遍的方法。因为，在自然界和人类事物中，严格确定性的范围十分有限，随机现象却是大量存在的，而统计与概率正是对随机变化的数学描述，它能够帮助我们做出合理的决策，并能告诉我们犯错误的概率。统计不只是一套技术，它是处理数据中的一种态度，尤其是它承认数据和数据收集中不确定性和可变性的事实。因此，统计与概率内容是义务教育阶段唯一培养学生从随机的角度来观察世界的数学内容，它能使人们在面对这种不确定性时做出决策。二是从科学思维方法上看，科学起源于经验的观测。经验性的观察积累了数据，然后从数据做出某种判断。这种科学活动当然要依据各门学科自身的规律，但是统计方法正发挥着越来越大的作用。统计与概率发展到今天，它的理论和方法不仅越来越深入地渗透到物理、化学、生物、医学、地质、文学等几乎所有学科中，而且还越来越普遍地应用到工农业生产、气象与地震预报、经济管理、电子技术与计算机等各个部门。为此，义务教育阶段应当使学生了解统计与概率的基本思想和方法，初步形成运用数据进行推断的思考方式，养成尊重事实、用数据说话的态度，能明智地应付变化和不确定性，自信而理智地面对充满信息和变化的世界。3有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展在运用统计与概率的知识和方法解决实际问题的过程中，学生需要从日常生活中发现与数据有关的问题；从实际问题中收集最有用的信息；根据收集到的数据构建一个适当的数学模型；利用多种知识来求解数学模型；根据数学模型的解做出决策，以解决实际问题。在这一过程中，学生不仅仅将综合运用所有领域的知识来解决问题，还将促进自身多方面的发展，包括对日常生活中蕴涵的数学信息比较敏感，具备一定的应用意识；具备观察、操作、推理、交流的能力；具备提出问题和综合运用所学知识和方法解决