高考必做的百例导数压轴题导数专题目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1）二、交点与根的分布(23）三、不等式证明（31)（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式(三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围(51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.。一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. (切线)设函数。（1）当时，求函数在区间上的最小值;（2）当时，曲线在点处的切线为,与轴交于点求证：.解：(1）时，由，解得. 的变化情况如下表：010+0极小值0 所以当时，有最小值。（2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为。 令，得， ，,即。 又， 所以。2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率；w。w。w.k.s。5。u。c.o.m 当时，求函数的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 w。w。w。k。s。5。u.c.o。m 以下分两种情况讨论:，则.当变化时，的变化情况如下表:+00+极大值极小值 w.w。w。k.s。5。u.c.o.m ，则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w。w。w.k。s。5。u.c.o.m 3. 已知函数设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同,若，试建立 关于的函数关系式,并求的最大值；若在(0,4）上为单调函数，求的取值范围。4. （最值，按区间端点讨论）已知函数f（x）=lnx。(1）当a0时，判断f（x)在定义域上的单调性;（2)若f(x）在1,e上的最小值为,求a的值.解：(1）由题得f（x)的定义域为（0，），且 f （x)。a0，f (x)0，故f（x）在(0,）上是单调递增函数.(2)由（1)可知：f (x)，若a1，则xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此时f（x)在1,e上为增函数，f（x)minf(1)a,a （舍去)。若ae，则xa0，即f （x）0在1,e上恒成立，此时f（x)在1，e上为减函数,f(x）minf(e）1，a（舍去).若ea1，令f （x)0,得xa。当1xa时，f （x)0，f（x)在(1,a）上为减函数；当axe时，f （x)0，f(x）在（a，e）上为增函数，f(x)minf(a）ln(a）1a。综上可知：a.5. （最值直接应用）已知函数，其中。()若是的极值点，求的值；(）求的单调区间;(）若在上的最大值是，求的取值范围。解:(）。依题意，令，解得 。 经检验，时，符合题意. （）解: 当时,。故的单调增区间是；单调减区间是。 当时，令，得，或。当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和.当时，的单调减区间是. 当时，,与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和。 当时，的单调增区间是；单调减区间是.综上,当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时,的增区间是；减区间是和.（）由（）知 时，在上单调递增，由，知不合题意。当时，在的最大值是，由，知不合题意。当时,在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意。 所以，在上的最大值是时,的取值范围是。6. （2010北京理数18）已知函数=ln(1+）-+(0）。(）当=2时,求曲线=在点（1,(1)）处的切线方程；()求的单调区间。解:（I）当时，由于，所以曲线在点处的切线方程为 即（II）,.当时,。所以，在区间上,；在区间上，。 故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得,所以，在区间和上，;在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时, 故得单调递增区间是.当时,，得,。所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是7. （2010山东文21，单调性)已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；当时，讨论的单调性。解：因为 ， 所以 ， 令 8. （是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想,联系紧密)已知函数若函数 (x) = f (x)，求函数 (x)的单调区间；设直线l为函数f (x）的图象上一点A（x0，f (x0）处的切线，证明：在区间（1,+）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切解：（） ，且，函数的单调递增区间为 （） ， 切线的方程为, 即， 设直线与曲线相切于点，,。 直线也为， 即， 由得 ， 下证：在区间(1,+）上存在且唯一.由（）可知,在区间上递增又,，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立9. （最值应用,转换变量)设函数(1）讨论函数在定义域内的单调性；（2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围解:当时，增区间为，减区间为，当时,，减区间为当时，增区间为,减区间为，由知，当时，在上单调递减，,即恒成立，,即，又，,10. （最值应用)已知二次函数对都满足且，设函数（，）（）求的表达式；（)若，使成立,求实数的取值范围； （）设，求证:对于，恒有 解：（）设，于是所以 又，则所以 3分 （）当m0时,由对数函数性质，f（x）的值域为R；4分当m=0时，对，恒成立; 5分 当m0时，由，列表:x0减极小增 所以若,恒成立，则实数m的取值范围是 故使成立,实数m的取值范围9分（）因为对,所以在内单调递减于是记，则所以函数在是单调增函数， 所以，故命题成立 12分11. 设是函数的一个极值点。（1）求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；（2）设，若存在,使得 成立，求的取值范围.解：（1） 由题意得：，即，且令得,是函数的一个极值点 ，即 故与的关系式为。 当时，由得单增区间为：;由得单减区间为:和；当时，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；（2)由（1）知：当时，在上单调递增，在上单调递减,在上的值域为. 易知在上是增函数， 在上的值域为。 由于，又要存在，使得成立，必须且只须解得:. 所以,的取值范围为。 12. （1)若，求函数的极值;（2)若是函数的一个极值点,试求出关于的关系式（用表示)，并确定的单调区间；（3)在（2）的条件下，设，函数若存在使得成立，求的取值范围解：（1）当时,则.令得，,，解得当时,，当时，当时当时，函数有极大值，当时,函数有极小值，(2）由(1)知是函数的一个极值点 即,解得 则令，得或是极值点，即 .当即时，由得或由得当即时，由得或由得。综上可知:当时,单调递增区间为和，递减区间为当时，单调递增区间为和，递减区间为。（3）由2）知：当a0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1,4）上单调递增，函数在区间上的最小值为又，函数在区间0，4上的值域是，即又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是。,存在使得成立只须1。13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值)已知函数.当时，讨论的单调性；设当时，若对任意,存在，使，求实数取值范围.解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；(2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值,然后解不等式求参数.,令当时,，当，函数单调递减;当，函数单调递增.当时，由，即,解得.当时,恒成立,此时，函数单调递减;当时,，时,函数单调递减；时，,函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减;当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时,函数在单调递减;当时，函数在递减，递增，递减.当时，在(0,1)上是减函数，在(1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在,使，所以，（）又当时，与（)矛盾;当时，也与()矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是。14. 设函数（）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；(）当时，求函数的单调区间；（）当时，设函数，若对于,0，1使成立，求实数b的取值范围.(是自然对数的底，）解：函数的定义域为， （）设点，当时，则，解得，故点P 的坐标为（） 当，或时,当时，故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为，