2020-2021学年高中数学 单元素养评价 第三章 概率新人教A版必修32020-2021学年高中数学 单元素养评价 第三章 概率新人教A版必修3年级：姓名：单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是 ()A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%【解析】选D.概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性.2.12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽取3个，必然事件是()A.3个都是正品B.至少有一个是次品C.3个都是次品D.至少有一个是正品【解析】选D.A，B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的3个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件.3.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是 ()A.B.C.D.【解析】选B.给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P=.4.在区间-2，1上随机取一个数x，则x0，1的概率为 ()A.B.C.D.【解析】选A.由几何概型的概率计算公式可知x0，1的概率P=.5.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.既不互斥又不对立事件【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.6.将区间0，1内的均匀随机数x1转化为区间-2，2内的均匀随机数x，需要实施的变换为 ()A.x=2x1B.x=4x1C.x=2x1-2D.x=4x1-2【解析】选D.由题意可知x=(2+2)x1-2=4x1-2.7.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在4.8，4.85)范围内的概率是()A.0.62B.0.38C.0.70D.0.68【解析】选B.记“取到质量小于4.8 g”为事件A，“取到质量不小于4.85 g”为事件B，“取到质量在4.8，4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且ABC为必然事件.所以P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1，即P(C)=1-0.3-0.32=0.38.8.某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为 ()A.100 mB.80 mC.50 mD.40 m【解析】选A.设河宽为x m，则1-=，所以x=100.9.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ()A.B.C.1-D.1-【解析】选C.直角三角形的斜边长为=13，设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2.所以内切圆的面积为r2=4，所以豆子落在内切圆外部的概率P=1-=1-.10.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是 ()A.B.C.D.【解析】选C.因为=(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，所以事件总数有15种.因为正确的开机密码只有1种，所以P=.11.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ()A.B.C.D.【解析】选D.事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P=1-=.12.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为 ()A.B.C.D.【解析】选A.由题意，设BC=2，则以点B为圆心的扇形面积为22=，等边ABC的面积为22sin =，其中一个弓形的面积为-，所以勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即+2=2-2，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率为1-=.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A=摸出黑球，B=摸出白球，C=摸出绿球，D=摸出红球，则P(A)，P(B)，P(CD)的值依次为_.【解析】由古典概型的算法可得P(A)=，P(B)=，P(CD)=P(C)+P(D)=+=.答案：，14.在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2+2ax+=0有两个相异实根的概率为_.【解析】方程有两个相异实根的条件是=(2a)2-41=4a2-20，解得|a|，又a(0，1)，所以a1，区间的长度为1-，而区间(0，1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为=.答案：15.从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5170.5 cm之间的概率为_.(用分数表示)【解析】样本中有8人身高在155.5170.5 cm之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5170.5 cm之间的概率为=.答案：16.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b0，1，2，9.若|a-b|1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为_.【解析】此题可化为任意从09中取两数(可重复)共有1010=100种取法.若|a-b|1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取18中的任一数字时，分别有3种选择，共38=24种，所以P=.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020全国卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525-5-75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为=10.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.18.(12分)设集合M=1，2，3，4，aM，bM，(a，b)是一个基本事件.(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件？“a1”呢？(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件？“a=b”呢？(3)“直线ax+by=0的斜率k-1”这一事件包含哪几个基本事件？【解析】这个试验的基本事件构成集合=(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).(1)“a+b=5”包含以下4个基本事件：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).“a1”包含以下6个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).(2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“a=b”这一事件包含以下4个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).(3)直线ax+by=0的斜率k=-1，所以ab，所以包含以下6个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).19.(12分) 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果.(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C