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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)1 “”是 “”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上有两个点A,B,其坐标分别为(1,2,2),(2,-2,1),则()A.B.C.D.3已知是以为圆心的圆上的动点,且,则A.B.C.D.4将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,若在上为增函数,则的最大值为AB.C.D.5已知,则下列不等式正确的是()A.B.C.D.6已知函数且,则实数的取值范围为()A.B.C.D.7已知等边的边长为2,为内(包括三条边上)一点,则的最大值是A.2B.C.0D.8为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点()A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变9已知函数,若存在互不相等的实数,满足,则的取值范围是()A.B.C.D.10方程的零点所在的区间为()A.B.C.D.11已知函数,则的零点所在区间为A.B.C.D.12已知函数,则的( )A.最小正周期,最大值为B.最小正周期为,最大值为C.最小正周期为,最大值为D.最小正周期为,最大值为二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.) 13如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它由四个全等的直角三角形围成,其中,现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍,得到如图2的数学风车,则图2“赵爽弦图”外面(图中阴影部分)的面积与大正方形面积之比为_14使三角式成立的的取值范围为_15设,则_16已知函数,则_.三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少?18某商品进货单价为元,若销售价为元,可卖出个,如果销售单价每涨元,销售量就减少个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为多少?19甲、乙、丙三人打靶,他们的命中率分别为,若三人同时射击一个目标,甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为,乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”,事件B表示“乙击中目标”,事件C表示“丙击中目标”.已知A,B,C是相互独立事件.(1)求;(2)写出事件包含的所有互斥事件,并求事件发生的概率.20已知函数(常数).(1)当时,用定义证明在区间上是严格增函数;(2)根据的不同取值,判断函数的奇偶性,并说明理由;(3)令,设在区间上的最小值为,求的表达式.21近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司的总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?22已知向量,不共线,(1)若,求k的值,并判断,是否同向;(2)若,与夹角为,当为何值时,参考答案一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)1、B【解析】由等价于,或,再根据充分、必要条件的概念,即可得到结果.【详解】因为,所以,或,所以“”是 “”的充分而不必要条件.故选:B.2、C【解析】由已知求得球的半径,再由空间中两点间的距离公式求得|AB|,则答案可求【详解】由已知可得r,而|AB|,|AB|r故选C【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用,是基础题3、A【解析】根据向量投影的几何意义得到结果即可.【详解】由A,B是以O为圆心的圆上的动点,且,根据向量的点积运算得到|cos,由向量的投影以及圆中垂径定理得到:|cos即OB在AB方向上的投影,等于AB的一半,故得到|cos.故选A【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用,以及向量投影的应用平面向量数量积公式的应用主要有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).4、B【解析】由题意可知,由在上为增函数,得,选B.5、C【解析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】由为单调递减函数,则,为单调递减函数,则,为单调递增函数,则故.故选:C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小,属于基础题.6、B【解析】易知函数为奇函数,且在R上为增函数,则可化为,则即可解得a的范围.【详解】函数,定义域为,满足,令,为奇函数,函数,在均为增函数,在为增函数,在为增函数,为奇函数,在为增函数,解得.故选:B.7、A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则,设点P的坐标为,则故令,则t表示内(包括三条边上)上的一点与点间的距离的平方结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值,且最大值为,故的最大值为选A点睛:通过建立坐标系,将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化,在得到向量数量积的表达式后,根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键,借助图形的直观性可容易得到答案8、B【解析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.【详解】为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.故选:B9、D【解析】作出函数的图象,根据题意,得到,结合图象求出的范围,即可得出结果.【详解】假设,作出的图象如下;由,所以,则令,所以,由,所以,所以,故.故选:D.【点睛】方法点睛:已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.10、C【解析】分析函数的单调性,利用零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、均为上的增函数,故函数在上也为增函数,因为,由零点存在定理可知,函数的零点所在的区间为.故选:C.11、B【解析】根据函数的零点判定定理可求【详解】连续函数在上单调递增,的零点所在的区间为,故选B【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用,熟记定理是关键,属于基础试题12、B【解析】利用辅助角公式化简得到,求出最小正周期和最大值.【详解】所以最小正周期为,最大值为2.故选:B二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.) 13、24:25【解析】设三角形三边的边长分别为,分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.【详解】解:由题意,“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成,其中,设三角形三边的边长分别为,则大正方形的边长为5 ,所以大正方形的面积,如图,将延长到,则,所以,又到的距离即为到的距离,所以三角形的面积等于三角形的面积,即,所以“赵爽弦图”外面(图中阴影部分)的面积,所以“赵爽弦图”外面(图中阴影部分)的面积与大正方形面积之比为.故答案为:24:25.14、【解析】根据同角三角函数间的基本关系,化为正余弦函数,即可求出.【详解】因为,所以,所以,所以终边在第三象限,.【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系,三角函数在各象限的符号,属于中档题.15、2【解析】由函数的解析式可知,考点:分段函数求函数值点评:对于分段函数,求函数的关键是要代入到对应的函数解析式中进行求值16、17【解析】根据分段函数解析式计算可得;【详解】解:因为,故答案为:三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17、(1)300台;(2)90人.【解析】(1)每台机器人的平均成本为,化简后利用基本不等式求最小值;(2)由(1)可知,引进300台机器人,并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值,根据最大值求若人工分拣,所需人数,再与30作差求解.【详解】(1)由总成本,可得每台机器人的平均成本.因为.当且仅当,即时,等号成立.若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台.(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量为:当时,300台机器人的日平均分拣量为当时,日平均分拣量有最大值144000.当时,日平均分拣量为300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件,则需要人数为(人).日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少(人).【点睛】关键点点睛:本题的关键是理解题意,根据实际问题抽象出函数关系,并会求最值,本题最关键的一点时会求的最大值.18、此商品的最佳售价应为元.【解析】设最佳售价为元,最大利润为元, 当时,取得最大值,所以应定价为元19、(1) (2)互斥事件有:,【解析】(1)根据相互 独立事件的乘法公式列方程即可求得.(2)直接写出事件包含的互斥事件,并利用对立事件的概率公式求事件发生的概率即可.
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