最优捕捞策略【摘要】 本文建立了捕捞鳏鱼的优化策略模型，使此资源可持续开发且年收获量最大；并 对某渔业公司提出捕捞建议，使总收获量最大。首先，以年为周期从离散的角度入手，利用 递推的方法建立了一个初等线性递推模型并得到最优解。其次，考虑到鱼死亡时间的连续性, 建立了相应的微分方程和差分方程模型，使得模型更具一般化。接着，我们以递推模型为基 础，建立了生产能力约束条件下的捕捞模型。最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并提 出了相应的改进方法。【关键词】微分方程 捕捞强度系数离散连续一、 一、 问题的重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业）的开发必须适度。一种合理 简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最正确效益。假设某种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别 为5.07, 11.55, 17086, 22.99 （克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8,这种鱼为季节性集中 产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为L109X 105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半, 2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率 为1龄鱼条数与产卵量之比。渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕 捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例 系数称捕捞强度。常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为 0.42： 1,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。以及对 某承包这种鱼捕捞业务的渔业公司，提出最优捕捞策略。同时提供了一种可再生资源的开发 思路与管理模型。二、二、 问题分析因为通常使用的鱼网只能捕捞3、4龄鱼，所以年收获量（捕捞总重量）是由3、4龄 鱼的捕捞条数决定。由于3、4龄鱼的年捕捞量与其各自的条数成正比（比例系数称为捕捞 强度系数kD，同时按照题意要求：实现可持续收获，即每年开始捕捞时渔场中3、4龄鱼 各自的条数应该是一个固定不变的量，那末年收获量实质是由捕捞强度系数决定的量，因此 可以把此题就转化为约束极值问题。通常情况下，渔业管理以一年为一个周期，那么称“捕捞一一产卵”为一个周期（每年 的1到8月“捕捞”，后4月“产卵”），为满足可持续收获这一约束条件，可将问题看作多 阶段。又因为上一年产卵成活1龄鱼的多少直接影响这一年2龄鱼的多少，这一年2龄鱼的 多少直接影响下一年3龄鱼的多少即各个阶段的各年龄组鱼群的数量存在必然联系，所 以依据这些关系，我们可以从“离散”入手建立一系列的方程，然后在此基础上，利用微分 方程处理“连续”的情况，逐步求得最优解。4、4、1、徐全智等2、寿纪麟3、李本亭 附录一1、徐全智等2、寿纪麟3、李本亭 附录一参考文献数学建模入门四川 电子科技大学出版社1996年数学建模一一方法与范例西安 西安交通大学出版社 1993年鳏鱼 海洋世界1997年第1期工、b=0 000 0;k=0 000 0;sss=0; for i=l:10k(l)=i/10;for j =1:10k(2)=j/10;for g=l:10k(3)=g/10;for 1=1:10k(4)=l/10;for m=l:10 k(5)=m/10; if (f4 (k)sss) b=k;sss=f5(k);endend end endend end b sssnl = 122*109;n2=2 9.7*109;n3=10.1*10/x9;n4=3.2 9*10A9;s=0;k=0.01;ss=10/l 5;while (ss10A11)k=k+0.01;s=0;for i=l:5s=s + f2 (n3,k)*17.86 + f2(n4,k)*22.99;a=nl;b=n2;c=n3;d=n4;nl= (fl (c,0.42*k)*55450 + fl(d,k)*110 900)*1.22*10All/(fl(c,0.42*k)*554 50 + fl(d,k)*110900 + 1.22*10All);n2=f1(a,0);n3=fl (b,0);n4=fl(c,0.42*k)+fl(d,k);endss=(nl-122*10人9)人2+(n2-29.7*10A9)A2+(n3-10.1*109) A2+(n4-3.29*10A9) 2ends2、 function y=a(k)n3=0;n4=0;sl=0.1;s2=0.1;y=0;while (sl0.001)&(s20.001)a=n3;b=n4;n3= ( (n3-0.42*k)*55450*1.22*1011/(n3*(l-0.42*k)*55450 + 1.22*10A11) + (n4*(1-k)*110900*1.22*10All/(n4*(1-k)*110900+1.22*1011)/125;n4= (n3* (l-0.42*k)+n4*(1-k)/5;sl=abs (n3-a);s2=abs (n4-b);endy=n3*0.42*k*17.86+n4*k*22.99;n3n4s=10A9;bi=0;for i=l:100k=i/100;if abs(fish_prob(k)-s)s s=fish_prob(k);bi=k;endend bi s function y=a(k)nl = 122*10A9;n2=2 9.7*10A9;n3=10.1 * 10A9;n4=3.29*10A9;y=0;n=l10900; for i=l:5a=nl;b=n2;c=n3;d=n4;nl=(c*0.2*(l-0.42*k(i)*0.5*n+d*0.2*(l-k(i)*n)*1.22*10All/(c*0.2*(l -0.42*k(i)*0.5*n+d*0.2*(l-k(i)*n)+1.22*10All);n2=a*0 , 2;n3=b*0.2;n4=c*0.2*(l-0.42*k(i)+d*0.2* (l-k(i);endy=(nl/(122*10A9)-1)A2+(n2/(2 9.7*10A9)-1)A2+(n3/(10.l*10A9)-1)八2+ (n4/ ( 3.29*10A9)-1)A2;function y=a(k)nl=122*10A9;n2=29.7*10A9;n3=10.1*10A9;n4=3.29*10A9;y=0;n=110900;sl=0; s2 = 0; for i=l:5a=nl;b=n2;c=n3;d=n4;nl=(c*0.2*(l-0.42*k(i)*0.5*n+d*0.2*(l-k(i)*n)*1.22*10All/(c*0.2*(l -0.42*k(i)*0.5*n+d*0.2*(1-k(i)*n)+1.22*10All);n2=a*0 . 2;n3=b*0.2;n4=c*0.2*(l-0.42*k(i)+d*0.2*(l-k(i);sl=sl+c*0.42*k(i);s2=s2+d*k(i);ends=(nl/(122*10A9)-1)A2+(n2/(29.7*10A9)-1)A2+(n3/(10.1*10A9)-1)人2+ (n4/ ( 3.29*10A9)-1)A2;y=sl*17.86+s2*22.99;三、三、基本假设和符号说明（一）基本假设1、1、鱼群生活在稳定的环境中，不考虑鱼群的迁入和迁出，也不考虑鱼群的空间分 布；2、2、 1龄鱼、2龄鱼可以在一年即一个周期的任意时间内死亡；3、3、3龄鱼、4龄鱼死亡时间相对集中，在产卵之后、下一年开始捕获之前；4、4、成活的i龄鱼每经过一年即一个周期变为（，+ 1）龄鱼 = 1，2,3）,而4龄鱼不 变；5、5、假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i 年龄组的鱼的条数等于第T年初第i+1年龄组的鱼的条数。6、6、各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定，不考虑由于饲养技术、环境等因素 引起变化；7、7、只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略；（二）符号说明符号意义说明单位Fi(T)i = 123,4;第T年初i龄鱼的总条数，T = 12未知量条Ng +T)第T年t时间的i龄鱼的条数，1 （，1）未知量条s年收获量（年捕捞总量）未知量克捕捞强度系数（i=3,4）未知量r鱼的自然死亡率量1/年n平均每条4龄鱼的产卵量量个t时间，可以取（0, 1）区间的任意实数变量年T时间，可以取任意自然数变量年四、 四、模型建立及求解（一）（一）模型 1首先，我们把整个过程以年为单位离散化来处理，通过假设使得1、2、3龄组的鱼群可 能经不同时间成长变化为2、3、4龄组的鱼群，同时使得3、4龄鱼捕获期与产卵期别离且 死亡时间集中。对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，那么,耳(7)二居(T 1)x(1 r)x(1攵 3)x0.5x1.22x10+ 招(T 一 1) x (1 r) x (1 攵4)义 x1.22x10 +(7-1)x(1-r)x(1-&)x0.51.22xlOH1.22x10 + 瑞(T-1)x(1-r)x(l-%)x(1-1)对于2龄鱼,对于3龄鱼,对于4龄鱼,每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，那么F2(T) = F,(T-l)x(l-r)每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，贝!F3(T) = F2(r-l)x(l-r)每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，那么,(1-2)(1-3)尼(7)=居(T 1)x(1 r)x(1 3) +鸟(T 1)x(1 r)x(1 七)(1-4)题目要求“实现可持续捕获。即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年的条数，建 立等式如下，(1-5)(1-5)i = 1,2,3,4根据题目条件，“只能捕获3龄鱼和4龄鱼，捕获强度系数之比为0.42： 1”，那么(1-6)(1-6)= 0.42 x 的由于题目要求在“实现可持续捕获”前提下到达最高的捕获量，且“只能捕获3龄鱼 和4龄鱼”，那么年收获量等于3、4龄鱼捕获的条数与各自的平均重量乘积的和，建立函数关 系为(1-7)(1-7)max S = 22.99 x F4(T) xZ：4 +17.86 xF3(T) x k3(1)至(6)式作为约束条件，(7)式作为目标函数，即maxS = 22.99 x 工(T) x Q +17.86 x 工(T) x /肉(7)=尸3(7 1)x(1 r)x(l &)xO.5x1.22x10”1.22x10 + (T 1)x(1 r)x(1左 3)x0.5+ 尼(7一 1) X (1 厂)X (1 女4 ) X 几 Xl.22xl()ii1.22x10 +工(7 1)x(1r)x(1 &)义(1-1)B(T) =耳(7一1)x(1 r)(1-2)F3(T) = F2(T-l)x(l-r)(1-3)F4(T) = F4(T-l)x(l-r)x