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基本不等式的应用教案华伟一、知识与技能会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题; 二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性都是正数,如果是定值,那么当时,和有最小值;如果和是定值,那么当时,积有最大值 二、研探新知,质疑答辩,排难解惑,发展思维 例1 (教材例1) 用长为的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大?解:设矩形的长为,则宽为,矩形面积,且由(当且近当,即时取等号),由此可知,当时,有最大值答:将铁丝围成正方形时,才能有最大面积例2(教材例2)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。解:设水池底面一边的长度为,水池的总造价为元,根据题意,得当因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。变题:某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶,它的容积是立方分米,用来做底的金属每平方分米价值3元,做侧面的金属每平方米价值2元,按着怎样的尺寸制造,才能使圆桶的成本最低。解:设圆桶的底半径为分米,高为分米,圆桶的成本为元,则3求桶成本最低,即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式,得=当且仅当时,取“=”号。当1(分米),(分米)时,圆桶的成本最低为9(元)。例3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?解:设该厂天购买一次面粉,平均每天所支付的总费用为元购买面粉的费用为元,保管等其它费用为,当,即时,有最小值,答:该厂天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少例4 在面积为定值的扇形中,半径是多少时扇形周长最小?在周长为定值的扇形中,半径是多少时扇形面积最大?例5 如图为定角,分别在的两边上,长为定长,当处在什么位置时,的面积最大?解:设,其中为定值,当且仅当,即时,的面积最大三、巩固深化,反馈矫正 1已知,求的最小值,并求相应的值2一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大,最大面积是多少? 3在直径为的圆的内接矩形中,问这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大,最大面积是多少?4.一个由辆汽车组成的车队,每辆车车长为米。当车队以速度(千米/小时)行驶时,相邻两辆车的车距至少为米,现车队要通过一座长为米的大桥,问车速为多少时,车队通过大桥所用的时间最少?最少需要多少分钟?5某工厂拟建一座平面图为矩形,面积为的三段污水处理池,由于受地形限制,其长、宽都不能超过,如果池的外壁的建造单价为元,池中两道隔墙的厚度不计,其面积只计一面,建造费单价为元,池底的建造费单价为元,则水池的长、宽分别为多少时,污水池的造价最低?最低造价为多少?6.建造一个容积为8平方米,深为2米的长方体无盖水池,如果池底和池壁的每平方米造价分别为120元和80元,那么水池的总造价最低是多少?(1760元)解:令长方体的长为米,宽为米,水池的总造价为元 ,=4,=320(+)+480 (当且仅当=时取等号) +4(当=2,=2时取“=”)元 所以水池的总造价为本1760元补充:某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方题小房,房屋正面的造价为元,房屋侧面的造价为元,屋顶的造价为元,如果墙高为,且不计房屋背面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低,最低总造价是多少元四、归纳整理,整体认识1解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题2.利用基本不等式来解题时,要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最值
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