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1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)ax2bxc(a0)顶点式:f(x)a(xm)2n(a0)零点式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,)上单调递增;当0,当时,恒有f(x)0.2幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc,xa,b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc,xR不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数y是幂函数()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点()(6)当n.4已知函数yx22x3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为_答案1,2解析如图,由图象可知m的取值范围是1,25(教材改编)已知幂函数yf(x)的图象过点,则此函数的解析式为_;在区间_上递减答案y(0,)解析设f(x)xa,则2a,a,即幂函数的解析式为y,单调减区间为(0,)题型一求二次函数的解析式例1(1)(2016太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1,则f(x)_.答案x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2),所以f(x)ax22ax,由1,得a1,所以f(x)x22x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2x)f(2x),求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对任意xR恒成立,f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0),又f(x)的图象过点(4,3),3a3,a1,所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3),即f(x)x24x3.思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a,bR),xR,若函数f(x)的最小值为f(1)0,则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a,bR)是偶函数,且它的值域为(,4,则该函数的解析式f(x)_.答案(1)x22x1(2)2x24解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa,由已知f(x)ax2bx1,a1,故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,a(),即b2,f(x)2x22a2,又f(x)的值域为(,4,2a24,故f(x)2x24.题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1,)上是递减的,则实数a的取值范围是()A3,0) B(,3C2,0D3,0答案D解析当a0时,f(x)3x1在1,)上递减,满足条件当a0时,f(x)的对称轴为x,由f(x)在1,)上递减知解得3a0.综上,a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1,),则a_.答案3解析由题意知a0时,f(x)ax22x的图象开口向上且对称轴为x.当01,即0a1时,f(x)ax22x的对称轴在0,1的右侧,f(x)在0,1上单调递减f(x)minf(1)a2.(3)当a0时,f(x)ax22x的图象开口向下且对称轴x2xm恒成立,则实数m的取值范围是_(2)已知a是实数,函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零,则实数a的取值范围为_答案(1)(,1)(2)解析(1)f(x)2xm等价于x2x12xm,即x23x1m0,令g(x)x23x1m,要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立,只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减,g(x)ming(1)m1.由m10,得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(,1)(2)2ax22x30在1,1上恒成立当x0时,30,成立;当x0时,a2,因为(,11,),当x1时,右边取最小值,所以a.综上,实数a的取值范围是.思维升华(1)二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是:af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.(1)设函数f(x)ax22x2,对于满足1x0,则实数a的取值范围为_答案解析由题意得a对1x4恒成立,又22,.(2)已知函数f(x)x22x,若x2,a,求f(x)的最小值解函数f(x)x22x(x1)21,对称轴为直线x1,x1不一定在区间2,a内,应进行讨论,当21时,函数在2,1上单调递减,在1,a上单调递增,则当x1时,f(x)取得最小值,即f(x)min1.综上,当21时,f(x)min1.题型三幂函数的图象和性质例5(1)(2016济南诊断测试)已知幂函数f(x)kx的图象过点,则k等于()A. B1 C. D2(2)若(2m1)(m2m1),则实数m的取值范围是()A.B.C(1,2) D.答案(1)C(2)D解析(1)由幂函数的定义知k1.又f,所以,解得,从而k.(2)因为函数y的定义域为0,)且在定义域内为增函数,所以不等式等价于解2m10,得m;解m2m10,得m或m;解2m1m2m1,得1m2,综上所述,m的取值范围是m2.思维升华(1)幂函数的形式是yx(R),其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴(2016昆明模拟)幂函数的图象经过点(4,2),若0ab1,则下列各式正确的是()Af(a)f(b)f()f()Bf()f()f(b)f(a)Cf(a)f(b)f()f()Df()f(a)f()f(b)答案C解析设幂函数为f(x)x,将(4,2)代入得,所以f(x),该函数在(0,)上为增函数,又0ab1,即ab,所以f(a)f(b)f()f()3分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例(10分)已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4,求实数a的值思想方法指导已知函数f(x)的最值,而f(x)图象的对称轴确定,要讨论a的符号规范解答解
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