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“曲线上一点处的切线”教学设计江苏省江阴市第一中学 唐永2018年11月20日至22日,江苏省第14届中学数学教学高级论坛在江苏省通州高级中学举行.笔者有幸参加了这次高级论坛并开设了一节研讨课,上课的课题是苏教版选修2-2“曲线上一点处的切线”.教学目标:(1)经历“局部以直代曲” 的过程,理解割线逼近切线的方法和曲线上一点处的切线的概念;了解曲线上一点处的切线的意义,掌握求曲线在一点处切线的斜率的方法.(2)让学生分组讨论,培养合作交流的能力;联系生活,培养发现问题解决问题的能力;让学生学会思考、体会科学探究的方法;培养学生用运动变化的眼光去认识问题的能力.(3)了解切线概念发展的历史过程,体会数学核心概念的发展与数学发展的相关性,通过切线概念的对比培养学生科学求实的精神,培养学生用批判与发展的观点认识客观事物的思维品质.教学重点:曲线上一点处的切线概念的形成过程,掌握曲线在一点处的切线斜率及切线方程的求法.教学难点:理解曲线在一点处的切线定义,特别是对“局部以直代曲”、“无限逼近”思想的理解.教学方法:活动探究教学法、合作交流学习法教学手段:多媒体辅助教学教学过程:一、回顾旧知,提出问题师:请同学们回忆什么叫做平均变化率?生:函数在区间上的平均变化率为。师:平均变化率近似的刻画了曲线在某一区间上的变化趋势,体现了“以直代曲”思想.请同学们观察上图中这些函数在区间0,1上的平均变化率是怎样的?生:它们在区间0,1上的平均变化率都是1.师:的确平均变化率都是一样的,但这几个函数在区间0,1上图象存在明显差异,有的上凸,有的下凸,所以再用平均变化率刻画就比较 “粗糙”,有时会产生错误判断,因为它只与区间端点有关,需要研究曲线在某一点处的变化趋势.那么“如何精确刻画曲线上某一点处的变化趋势”就是本节课所要研究的中心问题.问题1:如何精确刻画曲线上某一点P处的变化趋势?二、活动探究、建构概念带着问题,请同学们先看一组照片:第一组照片是探月卫星从月球传回的地球照片;第二组是杨利伟在“神州5号”上拍摄的美丽地球;第三组是江苏省通州高级中学操场.师:从遥远的月球拍到的地球照片,地球是球体曲面,再近一点,从神州5号拍到的地球表面弯曲程度变小了,再近一点,再近一点,再到我们脚下平整的操场,我们不禁要问“我们生活在曲面上还是平面上”?生:我们即生活在曲面上又生活在平面上,因为曲绝对,直相对;生:宏观上曲,微观上直;生:我们之所以感觉生活在平面上,实际上是对地球表面不断放大产生的效果.师:同学们说的都非常好,富有哲理性,受此启发可以用“放大图形”来研究曲线上某一点处的变化趋势.师:观察“点附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?放大放大 放大放大生:曲线在点P附近几乎成了一条直线.师: “几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么?又为什么说是“几乎”?生:曲线在点P附近逼近一条确定的直线,直线是经过点P的所有直线中,最逼近曲线的一条直线.师:在点P附近用直线代替曲线,即很小范围内“以直代曲”,直线的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的变化趋势.这样,通过“放大图形”、“局部以直代曲”解决了问题1.问题2:怎样找到曲线上一点P处最逼近曲线的直线呢?如图,直线为经过曲线上一点P的两条直线(1)判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线?(2)在点P附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗?(3)在点P附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗?这是什么数学思想方法?生:直线比更加逼近曲线,设Q是与曲线C的另一个交点,随着点Q沿曲线C向点P运动时,就会产生更加逼近曲线的直线、师:非常好!直线PQ称为曲线的割线,随着点Q沿曲线C向点P运动时,割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C,当Q无限逼近点P时,PQ最终成为在点P处最逼近曲线的直线,这条直线也就称为曲线在点处的切线,所以我们可以用P点处的切线的斜率来刻画曲线在点P处的变化趋势.2.如何作出曲线在点P处的切线? 割线逼近切线观察下面的图象,设Q为曲线C上除P点外的另一点,这时PQ称为曲线的割线.练习:利用直尺,用割线逼近切线的方法作出曲线在原点处的切线。三、追溯历史,深化概念如何由过点P的割线来求点P处的切线的斜率呢?割线斜率逼近切线斜率不妨设Q(x1,f(x1),P(x0,f(x0),则割线PQ的斜率为,设x1x0=x,则x1 =xx0,当点Q沿着曲线向点P无限靠近时,割线PQ的斜率就会无限逼近点P处切线斜率,即当x无限趋近于0时,无限趋近点P处切线斜率.(割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”思想的数量化)求曲线C上一点处的切线斜率的步骤:(1)求平均变化率;(2)当趋近于0()时,所趋近的值,即为P点处的切线的斜率.四、例题示范,应用概念例1. 已知,求曲线在处的切线的斜率.变式1:已知曲线的一条切线的斜率为-4,求切点的坐标。解 设切点, 则.当无限趋近于0时,无限趋近于2,从而,所以切点.变式2 求曲线在处的切线斜率. 解 设切点, 则.当无限趋近于0时,无限趋近于常数,曲线在处的切线斜率为.五、课堂练习,巩固概念 1.求曲线在处的切线方程.解 设切点, 则.当无限趋近于0时,无限趋近于常数0,从而曲线在处的切线的斜率为0,所以切线方程为:六、回顾总结,升华概念1.知识方面;2.思想方法方面。教学设计说明这堂课设计上依托教材强调几何直观、弱化概念的表达方式,为学生后面对导数概念的本质理解打好基础。其中“局部以直代曲”的思想则是微积分的核心所在,教学中参照教材从“放大图形”的朴素方法到“无限逼近”的极限观点逐层深入的揭示这一辩证思想,并利用EXCEL感受数值逼近,从数值角度体会“逼近”帮助理解。由于学生已经学过一些切线,但先前的定义不完善,所以教学过程中还穿插数学史,和以前学过的切线比较,使学生认识到数学历史发展的过程中,数学概念是不断继承、发展和完善的,加深对概念的理解和巩固。微积分知识体系的形成还不到400年,学生终究不是怪杰费尔马,学生主体地位的体现主要是抓住要让学生能够有自己的观察、体会、思维活动、操作活动和数学训练。整堂课围绕中心问题“如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势”展开,引导学生提出一步一步的小问题或设置一些小问题,最终形成很有哲学深度的“逼近”思想,从而理解概念,掌握切线斜率求法,解决中心问题。
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