三角形相似法在高中物理中的应用“应用数学处理物理问题的能力”是物理考试大纲中对学生的五种能力要求之一，新普通 高中物理课程标准也强调要培养学生科学方法和物理思想三角形相似法就是其中重要的方法 之一，也是运用数学知识处理物理问题的具体体现，应用三角形相似相关知识处理有些问题，能 够直观、简捷地得出结论该方法主要是体现某些物理量的矢量性和物理图形的几何特点，处理 相关问题时要特别注意画好相关物理图，适当时还要作一些辅助线，从图象中寻找规律，分析各 物理量之间的几何关系下面通过一些例题着重讨论三角形相似法在处理物理问题时的具体应 用1 函数图象中的三角形相似例题1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，已知它在前Is内的位移是5m,则它在前3s 内的位移是多少?分析与解答 物体运动的vt图如图1所示，我们知道vt图中图线与横轴围成的面积就 是位移，根据三角形相似，且面积比等于相似比的平方，得因为 所以即t1：t3=1：s1：s3=1s3=45m小结 类似的用法非常多在研究带电粒子在交变电场中的运动时，比如求经过时间t的总位移，若借助v-t图，用三角形相似求面积，贝哙大大降低难度，类似在F-s图中求功，在F-t 图中求冲量等，都有可能用到三角形相似2 速度三角形和位移三角形相似例题2 一船过一平直的小河，已知河水流速v1=5 ml s，船在静水中的航速v2=4m/s,河 宽d=10m，则船渡河的最小航程多大？分析与解答 由于河水流速大于船在静水中速度， 故小船不可能垂直于河岸过河.设船从A点开始渡河， 按题意作出速度矢量三角形，如图 2 所示，若要航程最 短，只要船的合速度v的方向与河岸AB间的夹角 最 大.由于v2的大小恒定，所以当v与圆周相切，即v2丄v 时航程最短，画出位移三角形，如图 2，设最短航程为 s，ds由速度三角形和位移三角形相似，知 =，所以vv21ds= v1=12.5m v12小结 处理这类问题要弄清楚速度合成的特点和速度与位移的关系，先画出矢量三角形图 示，这可将问题直观形象地展现出来，便于分析研究3 力三角形和长度三角形相似G图3例题 3 光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有 一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球的最左端 A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止今用力拉绳， 使小球从A点缓慢上升到最高点E,如图3,则此过程中，半球 形物体对小球的支持力和绳对小球的拉力大小分别如何变化?分析与解答 对缓慢上升中到任一点 P 的小球进行受力分 析，作受力分析图，如图3由题知，小球在重力G、半球的支 持力N和绳的拉力T三力作用下平衡，则N和丁的合力F大小等 于G,方向向上.由图可知AFNPsA OPO,则有Op = PO =，因为高度O O，半径PO以及重力G都不变，所以根据上述等式有支持力N不变，长度PO减小，所以绳子拉力T减小.小结本题是利用相似三角形求解动态平衡问题.这类问题的特点是：物体在三力作用下处 于动态平衡，且其中一个力大小和方向恒定，其它两个力的大小和方向都可变，这些变化是由物 体间距离的变化引起的，这时要注意力的矢量三角形和长度三角形相似的几何知识运用.例题4如图4所示，有两个带有等量同种电荷的小球A和B，质量都是m，分别悬于长为 L的悬线的一端.今使B球固定不动，并使OB在竖直方向上，A可以在竖直平面内自由摆动， 由于静电斥力的作用，A球偏离B球的距离为x.如果其它条件不变，A球的质量要增大到原来 的几倍，才会使AB两球的距离缩短为x/2.分析与解答 以A球为研究对象，A球受三个力作用：mg、Ft、F电且三力平衡，如图4所 示.由相似三角形的知识可知：当AB距离为x时，mg(1)x当AB距离为时,mg =L =F-电x/2(2)(1)(2)得18mF= 电 m 2 f电所以m =8m,即A球质量需增大到原来的8倍才符合要求。小结 处理矢量（力、速度、动量，电场强度，磁感应强度等等）的合成与分解问题时，画 出矢量三角形图示是关键4 长度三角形和长度三角形相似例题5某路灯S距地面高度为H,身高为h的人以速度v在路上匀速直线行走，求人影中 头顶的移动速度，人影顶端的速度是匀速的吗？其移动速度比人行走的速度大还是小？分析与解答 设开始时人在灯正底下，头顶影子在A点，经时间t人运动到达B，根据光的 直线传播，头顶影子在C点，如图5所示.头顶影子的位移大小AC=x，根据A SPQ与A SAC 相似，则有SP PQSA = AC，H - h vt 即=Hx H解得 x= vtH-hH因为v是定值，即头顶影子的位移与时间成正比，所以头顶影子做匀速运动，又 大H -hH -hH于1，所以头顶影子速度市V比人的速度v大所以人离灯越远人影子越长。小结 处理这种光学与运动学结合问题时，特别是通过位移判断物体运动性质时，通常可以 考虑用位移三角形相似.类似问题：某竖直墙壁前方固定一点光源，紧贴光源向垂直墙壁方向平抛一物体，则该物体 在竖直墙壁上的影子的运动情况如何?例题6如图6,水平放置的平行金属板的板长l=4cm，板间匀强电场的场强大小E=104N /C, 一束电子以初速度v0=2XlO7m/s垂直电场进入板间，从板的中间到竖立的荧光屏的距离 L=20cm，求电子打在荧光屏上的光点A偏转的距离y.分析与解答 可将电子的运动分为两个阶段，一是电场内的偏转，设偏转距离为y,二是电 场外的匀速直线运动，根据运动的合成与分解求出其偏转距离y，贝I总偏转距离为Y=y+ y.我 们也可以利用“电子离开电场时好像是从金属板间的1/2处沿直线飞出似的”这个结论，如图6, 贝由三角形相似得Y L? = T/2,其中1 qEl 2y= at2=，2 2 mv 20而且t=l/v0，所以qLlEY=0.0352(m)=3.52(cm),mv20即为所求.小结 此题求解中，先将曲线运动等效为直线运动，体现化曲线为直线的物理思想，再借助 三角形相似，大大降低了问题的难度，比常规方法简单，高效.上述讨论了三角形相似法在处理物理问题中的应用，从中我们可以看到，应用三角形相似知识解 题能够直观、简捷地得出结论.其实在处理中学物理问题时，常常用到很多与三角形有关知识，如三角函数、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、三角形全等或三角形相似等等，这些方法其本 质都涉及到各物理量的矢量关系和几何关系，处理相关问题时要特别注意画好矢量图，分析各物 理量之间的几何关系.为此，要熟悉各种图象的作图方法和物理意义，掌握有关物理量的矢量性， 理解物理过程的几何关系，这对加深理解基本概念、熟悉基本规律的应用，培养形象思维能力都具有重要意义，运用数学知识处理物理问题的能力也就能逐渐提高