一、数列多选题1已知数列满足，()，数列的前项和为，则（ ）ABCD答案：BC【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A错，B正确；根据求和公式，得到，求出，可得C正确，D错.【详解】由可知，即，当时，则，即得到，故选项B正确；无法计算，故A错；，所以，则解析：BC【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A错，B正确；根据求和公式，得到，求出，可得C正确，D错.【详解】由可知，即，当时，则，即得到，故选项B正确；无法计算，故A错；，所以，则，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如（且，）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知与的关系求通项时，一般可根据求解.2黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”达芬奇的蒙娜丽莎，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (nN*)，数列an满足a1a21，anan1an2 (n3)再将扇形面积设为bn (nN*)，则（ ）A4(b2020b2019)a2018a2021Ba1a2a3a2019a20211Ca12a22a32(a2020)22a2019a2021Da2019a2021(a2020)2a2018a2020(a2019)20答案：ABD【分析】对于A，由题意得bn an2，然后化简4(b2020b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列an满足a1a21，anan1an2 (n3解析：ABD【分析】对于A，由题意得bn an2，然后化简4(b2020b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列an满足a1a21，anan1an2 (n3)，即an1an2an，两边同乘an1 ，可得an12an1 an2an1 an，然后累加求解；对于D，由题意an1anan2，则a2019a2021(a2020)2a2018a2020(a2019)2，化简可得结果【详解】由题意得bn an2，则4(b2020b2019)4(a20202a20192)(a2020a2019)(a2020a2019)a2018a2021，则选项A正确；又数列an满足a1a21，anan1an2 (n3)，所以an2anan1(n3)，a1a2a3a2019(a3a2)(a4a3)(a5a4)(a2021a2020)a2021a2a20211，则选项B正确；数列an满足a1a21，anan1an2 (n3)，即an1an2an，两边同乘an1 ，可得an12an1 an2an1 an，则a12a22a32(a2020)2a12(a2a1a2a3)(a3a2a3a4)(a2020a2019a2020a2021)a12a2020a20211a2020a2021，则选项C错误；由题意an1anan2，则a2019a2021(a2020)2a2018a2020(a2019)2a2019(a2021a2019)a2020(a2018a2020)a2019a2020a2020(a2019)0，则选项D正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题3意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，.，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）ABCD答案：ABCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案.【详解】对A，写出数列的前6项为，故A正确；对B，故B正确；对C，由，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案.【详解】对A，写出数列的前6项为，故A正确；对B，故B正确；对C，由，可得：.故是斐波那契数列中的第2020项.对D，斐波那契数列总有，则，故D正确；故选：ABCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.4设等差数列的前项和为若，则（ ）ABCD答案：BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，故选：BC解析：BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，故选：BC5已知等差数列的前n项和为，公差为d，且，则（ ）ABCD答案：BD【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C，D，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A，B【详解】因为，所以因为，所以公差故选：BD解析：BD【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C，D，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A，B【详解】因为，所以因为，所以公差故选：BD6已知正项数列的前项和为，若对于任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）ABC若该数列的前三项依次为，则D数列为递减的等差数列答案：AC【分析】令，则，根据，可判定A正确；由，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；，根据，可判定D错误.【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；由，所以，故B错误；解析：AC【分析】令，则，根据，可判定A正确；由，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；，根据，可判定D错误.【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；由，所以，故B错误；根据等差数列的性质，可得，所以，故，故C正确；由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选：AC.【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.7朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.算学启蒙中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）A4B5C7D8答案：BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差为，设一共放层，则总得根数为：整理得，因为，所以为200的因数，且为偶数，验证可知满足题意.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.8无穷数列的前项和，其中，为实数，则（ ）A可能为等差数列B可能为等比数列C中一定存在连续三项构成等差数列D中一定存在连续三项构成等比数列答案：ABC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案【详解】当时，当时，当时，上式所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列解析：ABC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案【详解】当时，当时，当时，上式所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题9已知数列是递增的等差数列，数列的前项和为，下列结论正确的是（ ）ABC当时，取最小值D当时，取最小值答案：AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，则，故正确，错误；可得数列的解析：AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，则，故正确，错误；可得数列的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正而当时，取最小值，故正确，错误故选：【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题10等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）ABCD答案：ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，故正确.【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，故正确.【详解】根据题意可知数列为递增数列，前9项的和最小，故正确；，故正确；，故正确；，故不正确.故选：.【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.