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第一章导数及其应用导数的概念1.已知f(x)1 , W lim f(2x)f的值是()xx 0xA.11D.2B. 2C44变式1 :设fr rf34,则 lim -3hf3为()h 02hA.1B.2C.3D.1变式2:设fx在怡可导次V limf xxf x 3x等于x 0xA.2fX。B. fX。C. 3fXD. 4 f x0导数各种题型方法总结请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法:1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充 分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值*围。最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令f(x)0得到两个根;第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种:第一种:分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0,0)(已知谁的*围就把谁作为主元);第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)(请同学们参看2010省统测2)例1:设函数y f (x)在区间D上的导数为f (x),f (x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D 上, g(x) 0432恒成立,则称函数 y f (x)在区间D上为“凸函数”,已知实数 m是常数,f(x) 王 卫* 整12 6 2(1) 若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”,求m的取值*围;(2) 若对满足 m 2的任何一个实数 m,函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”,求b a的最大值.432xmx3xf (x)得 f (X)12 62f (x)在区间0,3上为“凸函数”,2g(x) x mx 30在区间0,3上恒成立-H-解:由函数32x mx 小 3x32(1)则解法一:从 二次函数的区间最值 入手:等价于gmax(x)0解法二:分离变量法:当 x 0 时,g(x)当 0 x 3时,g(x)x2 3等价于m:x3而 h(x) x - ( 0x2时f(x)在区间2 时 g(x)当m则等价于当m变更主元法再等价于F(m)mx x2f( 2)卩F(2)例2:设函数f (x)(I)求函数f2x2xmx 330恒成立,mx 3 0恒成立-的最大值(0 x 3 )恒成立,x3 )是增函数,贝 yhmax(X)h(3) 2a,b上都为“凸函数”2xmx 30恒成立2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)2x2x x2302x322-x 2ax 3a x 3(*)2的单调区间和极值;b(0 a1,b R)(n)若对任意的 x a 1, a2,不等式f (x)a恒成立,求a的取值*围.(二次函数区间最值的例子)解:(I) f (x)x2 4ax 3a2 x 3a x a a3aa3a令f (x)0,得f(x)的单调递增区间为(a3a)令f (x)0,得f (x)的单调递减区间为(一 ,8)和(3a, +)当 *=a 时,f (x)极小值=a3 b;4当*=3a时, f(x) 极大值=b.(n)由 | f (x) | w a,得:对任意的 x a 1, a 2, a x2 4ax 3a2 a 恒成立则等价于 g (x)这个二次函数gmax(X) a gmin(X) a22g (x) x4 ax 3a 的对称轴x 2a tO a 1, a 1a a 2a (放缩法)g(x)这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。即定义域在对称轴的右边,g (x)maxg (x)mina 22g(x) x24ax 3a在a 1,a 2上是增函数.g(a 2)g(a 1)2a 1.4a 4.于是,对任意xa1,a2,不等式恒成立,等价于1.4又0 a 1, 5点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种:构造函数求最值 题型特征:f(x) g(x)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立;从而转化为 第一、二种题型32例3;已知函数f(x) x ax图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3,(I)求a,b的值;(n)当 x1,4时,求f (x)的值域;(川)当x1,4时,不等式f(x) g(x)恒成立,*数t的取值*亂解:(I)/2f/(1)3f /(x) 3x22ax ,解得a3b 1 ab2()由(I)知, f (x)在1,0上单调递增,在0,2上单调递减,在2,4上单调递减又 f ( 1)4, f (0)0, f (2)4, f(4)16 f (x)的值域是4,16(川)令 h(x) f(x) g(x)x2 (t 1)x 3 x 1,4思路1:要使f(x) g(x)恒成立,只需h(x) 0,即t(x2 2x) 2x 6分离变量思路2: 二次函数区间最值二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的*围解法1:转化为f(x) 0或f(x) 0在给定区间上恒成立,回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区 间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话 的区别:前者是后者的子集13 a 12例 4:已知 a R,函数 f(x) xx (4a l)x.12 2(I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数,求f (x)的极大值和极小值;(n)如果函数 f(x)是(,)上的单调函数,求a的取值*围.1 2解:f (x)x (a1)x (4a1).4I) V f (x)是偶函数,a 1.13此时f(x)x1 23x , f (x)-x 3,124令f (x)0 ,解得:x2 3.列表如下:x(8,-2a/3)2晶(2爲,2爲)243(2 73 ,+8)f (x)+00+f(x)递增极大值递减极小值递增可知:f (x)的极大值为f( 2 3) 4 3, f(x)的极小值为f(2 3)4 3.(n)v函数f (x)是(,)上的单调函数,f (x) -x 1 2贝U (a 1)4 - (4a 1) a 2a 0,解得:0 a 2.4综上,a的取值*围是a0 a 2.1 3 1 2例 5、已知函数 f (x)x3(2 a)x2 (1 a)x(a 0). (a 1)x (4a 1) 0,在给定区间R上恒成立判别式法4单调增区间:(1,a 1)(II)当f (x)在0,1上单调递增1、a 0时,f(x)在(单调增区间:(,1),(a1,)则0,1是上述增区间的子集:)单调递增符合题意2、0,1 a 1,综上,a的取值*围是0,三、题型二:根的个数问题题1函数f(*)与g(*)(或与*轴)的交点; 解题步骤第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式) 还是“先减后增再减”;1。=即方程根的个数问题和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) 第三步:解不等式(组)即可;1 3例6、已知函数f(x)x33(1) *数k的取值*围;(2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点,;主要看极大值和极小值与0的关系;罗x2 , g(x) 123kx,且f (x)在区间(2,)上为增函数.*数k的取值*围.解:(1)由题意 f (x) x2 (k 1)x V f (x)在区间(2,2- f (x) x (k 1)x0在区间(2,即k 1(2)设令 h (x) 当 当由于)上为增函数,(分离变量法)1 k的取值*围为k 12xx恒成立,又x 2, k 1x3 (kh(x) f(x) g(x)320得x k或x 1由(1)知k 1 ,)上恒成立2,故k3 kxx(,k)k(k,1)1(1,)h(x)0一0h(x)/极大值.3. 2.kk1623极小值k 12/0 ,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程1时,h (x) (x 1)20 , h(x)在R上递增,显然不合题意1时,h(x) , h (x)随x的变化情况如下表:h(x) 0有三个不同的实根,故需2k3k210,即(k 1)(k2 2k 2)0 k2 1,解得 k 1. 3k2 2k 2 0623综上,所求k的取值*围为k 1.3根的个数知道,部分根可求或已知。1(2)有含1 2g(x) bx x d,在(1)的条件下,是否存在实数21的三个不同交点?若存在,求出实数b,使得函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒解:(1)/ f (x)的图像过原点,则 f(0)0又1是f (x)的极值点,f ( 1) 3af (x) 3x2b的取值*围;否则说明理由。c 0 f (x)c 23axx
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