第2课时对数函数及其性质的应用学习目标1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用知识链接对数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域(0，)值域R过定点(1,0)，即当x1时，y0单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数奇偶性非奇非偶函数要点一对数值的大小比较例1比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2；(2)loga3.1，loga5.2(a0，且a1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3，log3.解(1)因为函数yln x是增函数，且0.32，所以ln 0.3ln 2.(2)当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数ylogax在(0，)上是减函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2.(3)方法一因为0log0.23log0.24，所以，即log30.2log40.2.方法二如图所示，由图可知log40.2log30.2.(4)因为函数ylog3x是增函数，且3，所以log3log331.同理，1loglog3，所以log3log3.规律方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性1若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较2若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论3若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较4若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较跟踪演练1(1)设alog32，blog52，clog23，则()Aacb BbcaCcba Dcab(2)已知alog23.6，blog43.2，clog43.6，则()Aabc BacbCbac Dcab答案(1)D(2)B解析(1)alog32log331；clog23log221，由对数函数的性质可知log52log32，bac，故选D.(2)alog23.6log43.62，函数ylog4x在(0，)上为增函数，3.623.63.2，所以acb，故选B.要点二对数函数单调性的应用例2求函数ylog(1x2)的单调增区间，并求函数的最小值解要使ylog(1x2)有意义，则1x20，x21，则1x1，因此函数的定义域为(1,1)令t1x2，x(1,1)当x(1,0时，x增大，t增大，ylogt减小，x(1,0时，ylog(1x2)是减函数；当x0,1)时，ylog(1x2)是增函数故函数ylog(1x2)的单调增区间为0,1)，且函数的最小值yminlog(102)0.规律方法1.求形如ylogaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)0，先求定义域2求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证；(2)借助函数的性质，研究函数tf(x)和ylogat在定义域上的单调性，从而判定ylogaf(x)的单调性跟踪演练2(1)函数f(x)|logx|的单调递增区间是()A. B(0,1C(0，) D1，)(2)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2C1，) D0，)答案(1)D(2)D解析(1)f(x)当x1时，tlogx是减函数，f(x)logx是增函数f(x)的单调增区间为1，)(2)f(x)2或0x1或x1，故选D.要点三对数函数的综合应用例3已知函数f(x)loga(a0且a1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性解(1)要使此函数有意义，则有或解得x1或x1，此函数的定义域为(，1)(1，)(2)f(x)logalogalogaf(x)又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，f(x)为奇函数f(x)logaloga(1)，函数u1 在区间(，1)和区间(1，)上单调递减所以当a1时，f(x)loga在(，1)，(1，)上递减；当0a1时，f(x)loga在(，1)，(1，)上递增规律方法1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称2求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间跟踪演练3已知函数f(x)loga(a0，a1，m1)是奇函数(1)求实数m的值；(2)探究函数f(x)在(1，)上的单调性解(1)由已知条件得f(x)f(x)0对定义域中的x均成立logaloga0，即1，m2x21x21对定义域中的x均成立m21，即m1(舍去)或m1.(2)由(1)得f(x)loga.设t1，当x1x21时，t1t20，t1t2.当a1时，logat1logat2，即f(x1)f(x2)，当a1时，f(x)在(1，)上是减函数同理当0a1时，f(x)在(1，)上是增函数1函数yln x的单调递增区间是()Ae，) B(0，)C(，) D1，)答案B解析函数yln x的定义域为(0，)，其在(0，)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，)2设alog54，b(log53)2，clog45，则()Aacb BbcaCabc Dbac答案D解析1log55log54log53log510，1alog54log53b(log53)2.又clog45log441.cab.3函数f(x)的定义域是()A(1，) B(2，)C(，2) D(1,2答案D解析由题意有解得1x2.4函数f(x)的值域为_答案(，2)解析当x1时，logxlog10，当x1时，f(x)0.当x1时，02x21，即0f(x)2.因此函数f(x)的值域为(，2)5函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案解析要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a1和0a1两类分别求解2解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用一、基础达标1若集合A，则RA等于()A(，0B.C(，0D.答案A解析logx，即logxlog，0x，即A，RA.故选A.2设alog3，blog2，clog3，则()Aabc BacbCbac Dbca答案A解析alog31，blog2log23，clog3log32，故有abc.3函数f(x)logax(0a1)在a2，a上的最大值是()A0 B1 C2 Da答案C解析0a1，f(x)logax在a2，a上是减函数，f(x)maxf(a2)logaa22.4函数f(x)lg()的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C即奇又偶函数 D非奇非偶函数答案A解析f(x)定义域为R，f(x)f(x)lg()lg()lglg 10，f(x)为奇函数，选A.5函数ylog(x24x12)的单调递减区间是()A(，2) B(2，)C(2,2) D(2,6)答案C解析ylogu，ux24x12.令ux24x120，得2x6.x(2,2)时，ux24x12为增函数，ylog(x24x12)为减函数，函数的单调减区间是(2,2)6已知定义域为R的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f()0，则不等式f(log4x)0的解集是_答案x|x2解析由题意可知，f(log4x)0log4xlog44log4xlog44x2.7已知f(x)(logx)23logx，x2,4试求f(x)的最大值与最小值解令tlogx，则yt23t(t)2，2x4，log4logxlog2，即2t1.可知y(t)2在2，1上单调递减当t2时，y取最大值为10；当t1时，y取最小值为4.故f(x)的最大值为10，最小值为4.二、能力提升8设alog36，blog510，clog714，则()Acba BbcaCacb Dabc答案D解析alog36log33log321log32，blog510log55log521log52，clog714log77log721log72，log32log52log72，abc，故选D.9已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A1,2 B.C，2 D(0,2答案C解析f(loga)f(log2a)f(log2a)，原不等式可化为f(log2a)f(1)又f(x)在区间0，)上单调递增，0log2a1，即1a2.f(x)是偶函数，f(log2a)f(1)又f(x)在区间(，0上单调递减，1log2a0，a1.综上可知a2.10已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_答案a|2a3解析函数f(x)是(，)上的增函数，a的取值需满足解得2a3.11讨论函