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www.ks5u.com第九章解析几何全国卷年考情图解高考命题规律把握1.高考在本章一般命制12道小题,1道解答题,分值占2024分2.对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主,重在考查学生的双基掌握能力3.对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,常以压轴题的形式出现,其命题形式常与向量结合,重在考查圆锥曲线的几何性质,另外定值问题、最值问题及探索性问题依然是考查的热点问题4.本章内容集中体现了两大数学思想:函数与方程思想及数形结合思想,且常与向量、三角函数、不等式、导数等知识交汇命题,体现了综合与创新.第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0.(3)范围:直线l倾斜角的取值范围是0,)2斜率公式(1)定义式:直线l的倾斜角为,则斜率ktan .(2)坐标式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率k.3直线方程的5种形式名称方程适用条件点斜式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0,A2B20平面内所有直线平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等即直线与倾斜角是多对一的映射关系如果y2y1,x2x1,则直线与x轴平行或重合,斜率等于0;如果y2y1,x2x1,则直线与x轴垂直,倾斜角等于90,斜率不存在斜率与倾斜角的关系(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系(2)当直线l的倾斜角时,越大,直线l的斜率越大;当时,越大,直线l的斜率越大(3)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率(4)已知倾斜角的范围,求斜率k的范围,实质是求ktan 的值域;已知斜率k的范围,求倾斜角的范围,实质是在上解关于正切函数的三角不等式问题,可借助正切函数图象来解决此类问题 (1)把直线AxByC0(ABC0)化为下面的形式:化为截距式:AxByC,即1.化为斜截式:yx.化为点斜式:先求出直线过定点,k,则点斜式为y(x0)(2)在一般式AxByC0(A,B不全为0)中,若A0,则y,它表示一条与y轴垂直的直线;若B0,则x,它表示一条与x轴垂直的直线. 小题查验基础一、判断题(对的打“”,错的打“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点M(a,b),N(b,a)(ab)的直线的倾斜角是45.()(3)直线的倾斜角越大,斜率k就越大()(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案:(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1若直线x2的倾斜角为,则的值为()A0B.C.D不存在解析:选C因为直线x2垂直于x轴,所以倾斜角为.2直线xya0的倾斜角为()A.B.C.D.解析:选B设直线的倾斜角为,则tan ,0,),.3如果AC0,且BC0,那么直线AxByC0不经过()A第一象限B.第二象限C第三象限D第四象限解析:选CAC0,BC0,AxByC0,yx,AB0,0,0,直线AxByC0经过第一、二、四象限,故选C.4若过点M(2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m_.解析:由k1,得m1.答案:15过点P(2,3),倾斜角为45的直线方程为_解析:由点斜式得直线方程为y(3)tan 45(x2),即xy50.答案:xy50考点一 直线的倾斜角与斜率 师生共研过关 典例精析(1)直线xsin y20的倾斜角的范围是()A0,)B.C.D.(2)已知直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围是_解析(1)设直线的倾斜角为,则有tan sin ,又sin 1,1,0,),所以0或.(2)如图,因为kAP1,kBP,所以直线l的斜率k(,1,)答案(1)B(2)(,1,)解题技法斜率取值范围的2种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可过关训练1.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()Ak1k2k3B.k3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析:选D直线l1的倾斜角1是钝角,故k10.直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角,且23,所以0k3k2,因此k1k3k2.故选D.2已知点(1,2)和在直线l:axy10(a0)的同侧,则直线l倾斜角的取值范围是_解析:点(1,2)和在直线l:axy10同侧的充要条件是(a21)0,解得a1,即直线l的斜率的范围是(,1),故其倾斜角的取值范围是.答案:考点二 直线的方程 师生共研过关 典例精析(1)求过点A(1,3),斜率是直线y4x的斜率的的直线方程(2)求经过点A(5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解(1)设所求直线的斜率为k,依题意k4.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y3(x1),即4x3y130.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为1,将(5,2)代入所设方程,解得a,所以直线方程为x2y10;当直线过原点时,设直线方程为ykx,则5k2,解得k,所以直线方程为yx,即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.解题技法求直线方程的方法(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,求出方程中的系数,写出直线方程;(2)待定系数法:先根据已知条件恰当设出直线的方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数,最后代入设出的直线方程提醒(1)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.(2)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式AxByC0,且A0.过关训练求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等(2)经过点A(1,3),倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解:(1)设直线l在x轴,y轴上的截距均为a,若a0,即l过点(0,0)和(4,1),所以l的方程为yx,即x4y0.若a0,设l的方程为1,因为l过点(4,1),所以1,所以a5,所以l的方程为xy50.综上可知,所求直线的方程为x4y0或xy50.(2)由已知设直线y3x的倾斜角为,则所求直线的倾斜角为2.因为tan 3,所以tan 2.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y3(x1),即3x4y150.(3)由题意可知,所求直线的斜率为1.又过点(3,4),由点斜式得y4(x3)故所求直线的方程为xy10或xy70.考点三 直线方程的综合问题 师生共研过关典例精析(1)(2019成都模拟)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB面积最小时,直线l的方程为_(2)已知直线l1:ax2y2a4,l2:2xa2y2a24,若0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a_.解析(1)设直线l的方程为y1k(x2)(k0),则A,B(0,12k),SAOB(12k)(44)4,当且仅当4k,即k时,等号成立故直线l的方程为y1(x2),即x2y40.(2)直线l1可写成a(x2)2(y2),直线l2可写成2(x2)a2(2y),所以直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2a,直线l2的横截距为a22,所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42,故当a时,四边形的面积最小答案(1)x2y40(2)解题技法与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解过关训练1已知直线(a1)xya30(a1),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,实数a的值是()A1B.C2D3解析:选D当x0时,ya3,当y0时,x,令ta35(a1).因为a1,所以a10.所以t52 9.当且仅当a1,即a3时,等号成立故选D.2过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点(1)当AOB面积最小时,求直线l的方程(2)当|OA|OB|取最小值时,求直线l的方程解:设直线l:1(a0,b0),因为直线l经过点P(4,1),所以1.(1)12,所以ab16,当且仅当a8,b2时等号成立,所以当a8,b2时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为1,即x4y80.(2)因为1,a0,b0,所以|OA|OB|ab(ab)552 9,当且仅当a6,b3时等号成立,所以当|O
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