第四关 以平面几何图形的变换为背景的解答题1如图， 中， 于，且（）试说明是等腰三角形（）已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点运动的时间为（秒）若的边与平行，求的值若点是边的中点，问在点运动的过程中， 能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）为或；能， 值为或或，理由见解析在RtACD中，AC5x，ABAC，ABC是等腰三角形；（2）解：SABC5x4x40cm2，而x0，x2cm，则BD4cm，AD6cm，CD8cm，AC10cm当MNBC时，AMAN，即10tt，t5；当DNBC时，ADAN，得：t6；若DMN的边与BC平行时，t值为5或6当点M在BD上，即0t4时，MDE为钝角三角形，但DMDE；当t4时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即4t10时，MDE为等腰三角形，有3种可能如果DEDM，则t45，t9；如果EDEM，则点M运动到点A，t10；如果MDMEt4，过点E做EF垂直AB于F，因为EDEA，所以DFAFAD3，在RtAEF中，EF4；点睛：本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果学/科*网2定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形” （1）理解：如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积.（2）探究：小明对 “垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和即你认为他的发现正确吗？试说明理由（3）应用： 如图2，在ABC中， ，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（），连结CP，BQ，PQ当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值 如图3，在ABC中，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG请直接写出线段EG与BC之间的数量关系【答案】（1）28；（2）证明见解析；（3）； 【解析】试题分析：（1）由于对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积可化为AOBD+COBD的和；（2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出AB2、CD2、AD2、BC2；（3）过点P作PDAC于点D，构造PADBAC后，利用BP2+CQ2=PQ2+BC2列出关于t的方程；故答案为：28； （2）四边形ABCD是“垂直四边形”， ACBD.由勾股定理可知：AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2)，AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)，AB2+CD2=AD2+BC2； AP=5t，CQ=6t，AD=3t，PD=4t. 四边形BCQP是“垂直四边形”.BP2+CQ2=PQ2+BC2.(10-5t)2+(6t)2=(6-9t)2+82，解得t=或t=0（舍去）. 当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为.如图3，连接CG、BG、BE、CE，CE与BG交于点O由题意知：EA=BA，AC=AGEAB=CAG=90EAB+BAC=CAG+BACEAC=BAG在EAC与BAG中，点睛：本题考查的是垂直四边形的概念和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键.3在四边形中， ，对角线平分.学科.网（1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若，探究边、与对角线的数量关系并说明理由.【答案】（1）.证明见解析；（2）成立；（3）.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立以C为顶点，AC为一边作ACE=60，ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明DACBEC即可解决问题；（3）结论：AD+ABAC过点C作CEAC交AB的延长线于点E，只要证明ACE是等腰直角三角形，DACBEC即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB理由如下：如图1中，（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作ACE=60，ACE的另一边交AB延长线于点E，BAC=60，AEC为等边三角形，AC=AE=CE，D+ABC=180，DAB=120，DCB=60，（3）结论：AD+ABAC理由如下：过点C作CEAC交AB的延长线于点E，D+B=180，DAB=90，DCB=90，ACE=90，DCA=BCE，又AC平分DAB，CAB=45，E=45AC=CE又D+ABC=180，D=CBE，CDACBE，AD=BE，AD+AB=AE在RtACE中，CAB=45，AE.4ABC和CDE是以C为公共顶点的两个三角形（1）如图1，当ABC和CDE都是等边三角形时，连接BD、AE相交于点P求DPE的度数；（2）如图2，当ABC和CDE都是等腰直角三角形，且ACB=DCE=90时，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K求证：QKBE；（3）在（1）的条件下，N是线段AE与CD的交点，PF是DPE的平分线，与DC交于点F，CN=2，PFN=45，求FN的长 【答案】（1）60；（2）见解析；（3）DE、NE,再利用相似三角形的性质可得DE2=NEPE，求出PE、PN,由此即可解决问题;解：（1）如图1中，设AE交CD于JDPE=60（2）如图2中，延长CQ到R，使得CQ=QR，连接AR、DRABC和CDE都是等腰直角三角形，学/+科网ACB=DCE=90，AC=BC，CE=CD，BCE+ACD=180，AQ=DQ，CQ=QR，四边形ACDR是平行四边形，CKB=90，即CKBE（3）如图3中，作NHEC于H，NGPF于G，在EH上取一点K使得NK=EKDPE=60，PF平分DPE，NPPF=30，PFN=45，NGF=90，GF=GN=PN，FN=GN，PNF=CNE=105，CEN=15，KN=KE，KNE=KEN=15，NKH=30，在RtCNH中，CN=2，CNH=30，CH=CN=，NH=CH=，在RtNKH中，NK=KE=2NH=2，HK=NH=3，EN=6+2，CE=DE=4+2DEN=PED，EDN=EPD，DENPED，DE2=NEPE，可得PE=，PN=PEEN=，FN=5在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动（1）如图，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）（3）如图，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图若AD=2，试求出线段CP的最小值【答案】（1）AE=DF，AEDF；（2）是；（3）成立，理由见解析；（4）CP=QCQP=【解析】试题分析：（1）AE=DF，AEDF先证得ADEDCF由全等三角形的性质得AE=DF，DAE=CDF，再由等角的余角相等可得AEDF；（2）是四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，ADE=DCF=90，DE=CF，所以ADEDCF，于是AE=DF，DAE=CDF，因为CDF+ADF=90，DAE+ADF=90，所以AEDF；（3）成立由（1）同理可证AE=DF，DAE=CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AEDF；（4）由于点P在运动中保持APD=90，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可理由：由（1）同理可证AE=DF，DAE=CDF延长FD交AE于点G，则CDF+ADG=90，ADG+DAE=90AEDF；（4）如图：由于点P在运动中保持APD=90，点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在RtQDC中，QC=，CP=QCQP=考点：四边形的综合知识6如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DMFM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想【答案】（1）DMFM，DM=FM，证明见解析；（2）DMFM，DM=FM【解析】试题分析：（1）连接DF，NF，由四边形ABCD和CGEF是正方形，得到ADBC，BCGE，于是得到ADGE，求得DAM=NEM，证得MADMEN，得出DM=MN，AD=EN，推出MADMEN，证出DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；（2）连接DF，NF，由四边形ABCD是正方形，得到ADBC，由点E、B、C在同一条直线上，于是得到ADCN，求得DAM=NEM，证得MADMEN，得出DM=MN，AD=EN，推出MADMEN，证出DFN是等腰直角三角形，于是结论得到试题解析：（1）如图2，DM=FM，DMFM，证明：连接DF，NF，四边形ABCD和CGEF是正方形，ADBC，BCGE，ADGE，EFN