第九讲 数列与递进知识、方法、技能数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, ,an, 通常简记为an.如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.对于数列an，把Sn=a1+a2+an叫做数列an的前n项和，则有I等差数列与等比数列1等差数列（1）定义：（2）通项公式：an=a1+(n1)d .（3）前n项和公式：（4）等差中项：（5）任意两项：an=am+(nm)d.（6）性质：公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数；设an是等差数列，如果m、n、p、qN*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;设Sn是等差数列an的前n项和，则Sm, S2mSm, S3mS2m, , SpmS(p1)m(m1,p3，m、pN*)仍成等差数列；设Sn是等差数列an的前n项和，则是等差数列；设an是等差数列，则an+b(,b是常数)是等差数列；设an与bn是等差数列，则1an+2bn（1，2是常数）也是等差数列；设an与bn是等差数列，且bnN*，则abn也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；设an是等差数列，则（c0, c1）是等比数列.2等比数列（1）定义：（2）通项公式：an=a1qn1.（3）前n项和公式：（4）等比中项：（5）任意两项：an=amqnm.（6）无穷递缩等比数列各项和公式： S=（7）性质： 设an是等比数列，如果m、n、p、qN*，且m+n=p+q，那么aman=apaq；设Sn是等比数列an的前n项和，则Sm, S2mSm, S3mS2m, ，SpmS(p1)m(m1, p3，m、nN*)仍为等比数列；设an是等比数列，则an（是常数）、（mZ*）仍成等比数列；设an与bn是等比数列，则anbn也是等比数列；设an是等比数列，bn是等差数列，bnZ*，则abn是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；设an是正项等比数列，则logcan(c0, c1)是等差数列.赛题精讲例1 设数列an的前n项和Sn=2an1(n=1, 2,)，数列bn满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，)，求数列bn的前n项之和.（1996年全国数学联赛二试题1）【思路分析】欲求数列bn前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1bk, 知求ak即可，利用ak=SkSk1(k=2, 3, 4,)可求出ak.【略解】由Sn=2an1和a1=S1=2a11,得a1=1, 又an=SnSn1=2an2an1,即an=2an1,因此an是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n1.由ak=bk+1bk，取k=1,2,n1得a1=b2b1, a2=b3b2, a3=b4b3, , an1=bnbn1,将上面n1个等式相加，得bnb1=a1+a2+an. 即bn=b1+a1+a2+an=3+(1+2+22+2n1)=2n1+2,所以数列bn的前n项和为Sn=（2+1）+（2+2）+（2+22）+（2+2n1）=2n+2n1.【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.【思路分析】由ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知B=60，三个角可设为60d, 60, 60+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.【证】设ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac, B=60.【方法1】由余弦定理，得整理得(ac)2=0因此a=c.故ABC为正三角形.【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q42q2+1=0,解得q=1, q=1（舍去）所以a=b=c,故此ABC为正三角形.【方法3】因为b2=ac, 由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinA2RsinC（其中R是ABC外接圆半径）即sin2B=sinAsinC，把B=60代入得sinAsinC=，整理得cos(AC)cos(A+C)=，即cos(AC)=1,所以A=C，且B=60，故此ABC为正三角形.【方法4】将60d, 60, 60+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60d)sin(60+d)= ，即cos(2d)cos120= .得cos2d=1, d=0,所以A=B=C，故ABC为正三角形.【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.例3 各项都是正数的数列an中，若前n项的和Sn满足2Sn=an+,求此数列的通项公式.【思路分析】 在Sn与an的混合型中，应整理成数列Sn的递推式或数列an的递推式，然后用递推关系式先求出Sn，再求an，或直接求an.本题容易得到数列Sn的递推式，利用an=SnSn1先求出Sn，再求an即可.【解】n2时，将an=SnSn1代入2Sn=an+,得2Sn=SnSn1+,整理得所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即当n=1时，由2S1=a1+,得a1=1也满足.故数列an的通项公式为.【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足Sn与an混合型中的通项公式.例4 设数列an的前n项和Sn与an的关系为Sn=ban+1，其中b是与n无关的常数，且b1.（1）求an与an1的关系式；（2）写出用n与b表示an的表达式.【思路分析】利用Sn=anan1(n2)整理出数列an的递推关系式求an.【解】（1）当n2时，an=SnSn1=ban+1,整理得两边同乘以2n，得2nan=2n1an1+,可知数列2nan是以2a=为首项，公差为的等差数列.所以当b1，b1时，由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n1an1+从而数列cncn1就是一个等比数列，n取2，3，n得故数列an的通项公式为【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造了辅助数列cn、cncn1，使数列cncn1为等比数列，化未知为已知，从而使问题获解.例5 n2(n4)个正数排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）【思路分析】求和需要研究a11和akk，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a1k和q,又每行成等差数列，需要求得an和第一行的公差d，因而本题利用已知建立an、d和q之间关系，使问题获解.【解】设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,所以a44=2a43a42=2=.又因为a44=a24q2=q2,所以q=,于是有 解此方程组，得d=,a11=.对于任意的1kn,有【评述】数列求和应先研究通项，通项cn=anbn，其中an成等差为九列，bn为等比数列，数列cn的求和用错项相减去.例6 将正奇数集合1，3，5，从小到大按第n组有(2n1)奇数进行分组：1, 3,5,7 , 9, 11, 13, 15, 17, （第1组）（第2组）（第3组）问1991位于第几组中？（1991年全国高中数学联赛试题）【思路分析】思路需要写出第n组的第1个数和最后一个数，1991介于其中，而第n组中最后一个数是第（1+3+2n1）=n2个奇数为2n21.【解】因为1+3+5+(2n1)=n2所以前n组共含有奇数n2个，第n组最后一个数即第n2个奇数为2n21,第n组第一个数即第n1组最后一个数后面的奇数为2(n1)21+2=2(n1)2+1.由题意，有不等式2(n1)2+119912n21.解得(n1)2995且n2996，从而n32且n32，故n=32，即1991位于第32组中.【评述】应用待定的方法，假定位于第n组中然后确定n即可.例7 设an是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和，证明（1995年全国高考题）【思路分析】要证原结论成立，只需证SnSn+20, q0.（1）当q=1时，Sn=na1，从而 SnSn+2=na1(n+2)a1(n+1)2=0, q0.因为Sn+1+=a1+qSn, Sn+2=a1+qSn+1, 所以SnSn+2=Sn(a1+qSn+1)(a1+qSn)Sn+1=a1(SnSn+1) =a1(Sn+1Sn) =a1an+10.即（以下同证法1）.【评述】明确需要证，建立Sn、Sn+1、Sn+2之间的关系较为简单.7