新教材适用华师大版数学勾股定理本章总结提升 问题1勾股定理例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为_【归纳总结】 当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边问题2用拼图证明勾股定理勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？例2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14T1或摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理下面是小聪利用图证明勾股定理的过程： 图14T1将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中DAB90，求证：a2b2c2.证明：连结DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DFECba.S四边形ADCBSACDSABCb2ab，S四边形ADCBSADBSDCBc2a(ba)，b2abc2a(ba)a2b2c2.请参照上述证法，利用图完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中DAB90.求证：a2b2c2.【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想化归思想问题3勾股定理的应用勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？例3 如图14T2所示，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯脚B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？图14T2问题4勾股定理与方程思想的综合运用已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？例4 如图14T3，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？图14T3【归纳总结】 利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键例5 如图14T4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是_dm.图14T4【归纳总结】 将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度例6 如图14T5所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程图14T5【归纳总结】 确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同例7 如图14T6，在四边形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B90，试求DAB的度数图14T6详解详析【整合提升】例1 12或例2证明：证法一：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BFba.S五边形ACBEDSACBSABESAEDabb2ab，S五边形ACBEDSACBSABDSBDEabc2a(ba)，abb2ababc2a(ba)，a2b2c2.证法二：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BFba.S五边形ACBEDS梯形ACBESAEDb(ab)ab，S五边形ACBEDSACBSABDSBDEabc2a(ba)，b(ab)ababc2a(ba)a2b2c2.例3解析 如图，ABCD2.5米，BO0.7米，由勾股定理求得AO2.4米因此，OC2.40.42(米)再由勾股定理求出OD的长度，则可求出BD的长度，即梯脚外移的距离解：如图，在RtOAB中，AO2.4(米)，OC2.40.42(米)在RtCOD中，OD1.5(米)，BDODOB1.50.70.8(米)即梯脚将外移0.8米例4解：设BDx米，则AD(10x)米，CD(30x)米根据题意，得(30x)2(10x)2202，解得x5.即树的高度是10515(米)例5答案 13解析 将台阶上表面展开，如图，因为AC331312，BC5，所以AB2AC2BC2169，所以AB13dm，所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.例6解析 沿长方体表面从点A爬到点B，考虑路线最短的问题有三种途径：(1)从右侧面和前面走；(2)从右侧面和上底面走；(3)从后侧面和上底面走解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种：(1)沿右侧面和前面走时，如图所示，由勾股定理，得AB25，即路线长l125.(2)沿右侧面和上底面走时，如图所示，由勾股定理，得AB，即路线长l2.(3)沿后侧面和上底面走时，如图所示，由勾股定理，得AB，即路线长l3.因为l1l2l3，故这只蚂蚁要爬行的最短路程为25.例7解：如图，连结AC.在RtABC中，B90，且ABBC，所以BAC45.由ABBCCDDA2231，设ABBC2x，CD3x，DAx.因为B90，所以AC2AB2BC28x2，所以AC2AD28x2x29x2CD2，故DAC90，所以DABBACDAC135.