3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1直线的倾斜角（1） 定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。（2）如图中的是直线的倾斜角，当直线和轴平行或重合时，我们就规定直线的倾斜角为.因此，倾斜角的取值范围是.（3） 关于理解直线倾斜角应注意的几点:清楚定义中含有的三个条件：A.直线向上方向；B. 轴的正方向；C.小于平角的正角.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.倾斜角的取值范围是：.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对轴正方向的倾斜程度.平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.3.1.2直线的斜率斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即说明：当倾斜角是时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直与轴（或平行于轴或与轴重合）；所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；直线的斜率也反映直线相对于轴的正方向的倾斜程度，当时，k0，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当=90时，k不存在；当时，k0，斜率越大，倾斜角越大.斜率的公式：直线上两点且，则直线的斜率例题1：设直线l与x轴的交点为P，且倾斜角为，若将直线l按逆时针方向旋转45，得到直线l的倾斜角为45，则（ ）A.090 B.0135C.0135 D.0135解答：由于直线l与x轴相交，可知0，又与45都是直线的倾斜角，所以0180且4545180，.0135故选D例题2：给出的下列结论 直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角； 如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率为正实数； 如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率为负实数； 如果直线的倾斜角为直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等。其中，正确的结论是_（填序号）解析：错，错在了遗漏了0的角，故选例题3：下列说法正确的是：（ ）A. 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tanB. 直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为C. 若直线的倾斜角为，则sin0D. 任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率解析：对于选项A，当90直线的斜率不存在，故A错，对于B选项，虽然直线的斜率为tan，但只有当0，180时，才是此直线的倾斜角，故B错，对于C选项，当直线平行于x轴时，0，而sin00，故C错，所以选D例题4：已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（ ）A.30 B.120 C.150 D.60解析：ktan，且，所以150点评：应熟记下列正切的值：角度030456090120135150180tan01不存在0例题5：若090，则经过两点(0,sin),(cos,0)的直线的倾斜角为（ ）A. B. 90 C.180 D. 思路分析：要求直线的倾斜角，必须先求斜率，因为斜率是倾斜角的正切值（斜率存在），由此可以求得解析：设直线的倾斜角为90，则(此公式为正切诱导公式，不用纠结于此，到后面我们会讲到)090，900，90180180又0，180，=180故选C例题6：已知直线经过两点A(2，1),B(m，2)（mR）,求直线l的斜率。解析：当m=2时，直线l与x轴垂直，所以直线的斜率不存在当m2时,直线l的斜率综上所述,当m=2时,斜率不存在,当m2时,斜率k=3.1.3两直线平行设两条直线,的斜率分别为,若,则与的倾斜角与相等,我们可以得到,即,因此,若,则,反之,若,且,则,于是我们得到,对于两条不重合的直线,其斜率分别为,有,.此处并需注意一下两个问题: 上面两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合当都垂直于x轴且不重合时,由于垂直于同一条直线的两直线平行,可推得.3.1.4两直线垂直设两条直线的斜率分别为.若，则.注意：千万注意此处成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；两条直线中，当一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0时，则两条直线垂直.例题7：已知经过点A(-3，3),B(-8，6), 经过点M(,6),N(,-3),求证：点评：判定两条不重合的直线是否平行的依据：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）。判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率不存在的情况，以及两条直线是否重合。例题8：判断下列各题中是否垂直：（1）经过点A(-1，-2),B(1，2), 经过点M(-2，-1),N(2，1);(2) 的斜率为-10，经过点A(10，2),B(20，3);(3) 经过点A(3,4),B(3,10), 经过点M(-10,40),N(10,40)点评：判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线斜率都存在的前提下，只需要看它们的斜率之积是否等于-1即可，但是应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，这两条直线也垂直。练习：1. 下列多组点中，三点共线的是( )A.(1，4)，(-1，2)，(3，5) B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-),(7，2)D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)解析：C. 由KAB=KBC可得2.若函数f(x)=log2（x+1）且abc0，则、的大小关系是A. B.C. D.解析：B把、分别看作函数f(x)=log2（x+1）图像上的点与原点连线的斜率,对照草图可得答案3.若直线l的倾斜角为，并且，求直线l的斜率k。解析： 即 解之，得