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多角度破解多变元范围问题在近几年的高考题目中,有些多变元(量)确定范围问题,一般地可利用已知条件进行消元,从而将多变量表达式转化为一元表达式,便于求得范围(最值),且消元的方法较多.另外,某些题目也可以利用数形结合法求解.本专题重点说明从消元、数形结合等角度解答此类问题.(一)消元法:1、消元的目的:若表达式所含变量个数较多,则表达式的范围不易确定(会受多个变量的取值共同影响),所以如果题目条件能够提供减少变量的方式,则通常利用条件减少变量的个数,从而有利于求表达式的范围(或最值),消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式,进而可构造函数求得值域2、常见消元的方法:(1)利用等量关系消元:若题目中出现了变量间的关系(等式),则可利用等式进行消元,在消元的过程中要注意以下几点: 要确定主元:主元的选取有这样几个要点:一是主元应该有比较明确的范围(即称为函数的定义域);二是构造出的函数能够解得值域(函数结构不复杂) 若被消去的元带有范围,则这个范围由主元承担.例如选择为主元,且有,则除了满足自身的范围外,还要满足(即解不等式)(2)换元:常见的换元有两种:整体换元:若多元表达式可通过变形,能够将某一个含多变量的式子视为一个整体,则可通过换元转为一元表达式,常见的如等,例如在中,可变形为,设,则将问题转化为求的值域问题注:在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围,即要确定新元的范围三角换元:已知条件为关于的二次等式时,可联想到三角公式,从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同,所以在有些题目中可巧妙的解决问题,常见的三角换元有:平方和:联想到正余弦平方和等于1,从而有:推广:平方差:联想到正割() 与正切()的平方差为1,则有,推广:注:若有限定范围时,要注意对取值的影响,一般地,若的取值范围仅仅以象限为界,则可用对应象限角的取值刻画的范围3、消元后一元表达式的范围求法:(1)函数的值域通过常见函数,或者利用导数分析函数的单调性,求得函数值域(2)均值不等式:若表达式可构造出具备使用均值不等式(等)的条件,则可利用均值不等式快速得到最值.(3)三角函数: 形如的形式:则可利用公式转化为的形式解得值域(或最值) 形如:则可通过换元将其转化为传统函数进行求解 形如:,可联想到此式为点和定点连线的斜率,其中为单位圆上的点,通过数形结合即可解得分式范围(二)放缩消元法1、放缩法求最值的理论基础: 不等式的传递性:若,则 2、常见的放缩消元手段:(1)抓住题目中的不等关系,若含有两个变量间的不等关系,则可利用这个关系进行放缩消元(2)配方法:通过利用“完全平方式非负”的特性,在式子中构造出完全平方式,然后令其等于0,达到消元的效果(3)均值不等式:构造能使用均值不等式的条件,利用均值不等式达到消元的效果(4)主元法:将多元表达式视为某个变量(即主元)的函数,剩下的变量视为常数,然后利用常规方法求得最值从而消去主元,达到消元的效果.3、放缩消元过程中要注意的地方:(1)在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系,例如:若求最小值,则对应的不等号为“”;若求最大值,则对应的不等号为“”.放缩的方向应与不等号的方向一致(2)对进行放缩消元后的式子,要明确是求其最大值还是最小值.放缩法求最值的基础是不等式的传递性,所以在求最值时要满足其不等号的方向一致.若将关于 的表达式进行放缩消去,得到,例如,则下一步需要求出的最小值(记为),即,通过不等式的传递性即可得到.同理,若放缩后得到:,则需要求出的最大值(记为),即,然后通过不等式的传递性得到(3)在放缩的过程中,要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立,从而保证在不等式中等号能够一直传递下去(三)数形结合法1、数形结合的适用范围:(1)题目条件中含有多个不等关系,经过分析后可得到关于两个变量的不等式组(2)所求的表达式具备一定的几何意义(截距,斜率,距离等)2、如果满足以上情况,则可以考虑利用数形结合的方式进行解决3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形,其条件与所求为双变量的一次表达式4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理,这要看所给的不等条件(尤其是不等号方向)是否有利于进行放缩.【经典例题】例1. 已知函数,对任意的,存在,使得,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知,可得:,考虑进行代入消元,但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母,形式都比较复杂不利于求出最值.所以可以考虑引入新变量作为桥梁,分别表示,进而将变为关于的表达式再求最值.解:令 ,设可得且为增函数 在单调递减,在单调递增答案:D.例2. 若实数满足条件,则的取值范围是_【答案】【解析】思路一:考虑所求式子中可变为,所以原式变形为:,可视为关于的二次函数,设,其几何含义为与连线的斜率,则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率,即,则思路二:本题也可以考虑利用三角换元.设,从而原式转化为:,由可知的范围为答案:例3.已知函数,若对任意的恒成立,则的取值范围是 【答案】 【解析】,在上成立,在上单调递减,又“对任意的恒成立”等价于“对任意的恒成立”,解得,的取值范围是故答案为例4. 设实数满足,则的取值范围是_【答案】【解析】思路:考虑可用进行表示,进而得到关于的函数,再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围,再求出函数值域即可解: 由及(*)可得:,解得: 点睛:1.(*)为均值不等式的变形: ;2.主元变为a.例5.已知正项等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为( )A B C D 【答案】B【解析】设正项等比数列an的公比为q,且q0,由得:q=+,化简得,q2q2=0,解得q=2或q=1(舍去),因为aman=16a12,所以=16a12,则qm+n2=16,解得m+n=6,所以=(m+n)()=(10+)=,当且仅当时取等号,此时,解得,因为m n取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则,验证可得,当m=2、n=4时,取最小值为,故选:B例6.已知,则的最小值为_【答案】【解析】,则,若,则,;若,可得,设,可设,即为,若,可得,成立;若,则,即,解得,即有z的最小值为,此时,成立故答案为:例7若实数、满足,且,则的最小值是_,的最大值为_【答案】2 【解析】实数、满足,且,则,则,当且仅当,即时取等号,故的最小值是2,当且仅当,即时取等号故的最大值为,故答案为:2,例8设实数满足,则的最大值为_【答案】【解析】思路:由可联想到与的关系,即,所以,然后可利用进一步放缩消元,得,在利用即可得到最大值:,所以的最大值为,其中等号成立条件为: 答案:点睛:本题也可从入手,进行三角换元:,由可得,然后根据不等号的方向进行连续放缩,消去 即可得到最值:.例9. 设,且,则的最大值是_ 【答案】12【解析】思路:本题虽然有3个变量,但可通过进行消元,观察所求式子项的次数可知消去更方便,从而可得.然后可使用“主元法”进行处理,将视为主元,即但本题要注意的取值范围与相关,即,通过配方(或求导)可知的最大值在边界处取得,即,从而达到消去的效果,再求出中的最大值即可解: 设 为的极小值点 其中设若 可得:.例10.已知函数若存在实数,满足,则的最大值是_【答案】.【解析】分析: 根据函数f(x)图象判断a,b,c关系即范围,用c表示出af(a)+bf(b)+cf(c),根据函数单调性求出最大值详解: 作出f(x)的函数图象如图所示:存在实数abc,满足f(a)=f(b)=f(c),a+b=6,af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c6)lnc,由函数图象可知:ce2,设g(c)=(c6)lnc,则=lnc+1,显然在(,e2上单调递增,=20,=30,在(,e2上存在唯一一个零点,不妨设为c0,在g(c)在(,c0)上单调递减,在(c0,e2上单调递增,又g()=(6)0,g(e2)=2(e26)0,g(c)的最大值为g(e2)=2e212故答案为:2e212点睛: (1)本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像;其二是从图像里能发现a+b=-6, ce2;其三是能够想到构造函数g(c)=(c6)lnc,利用导数求函数的最大值.(2)本题要求函数的图像和性质掌握的比较好,属于中档题.【精选精练】1已知,则取到最小值时( )ABCD【答案】D【解析】由,可得,且.所以,当且时等号成立,解得.所以取到最小值时.故选D.2若实数a,b满足ab0,则的最小值为( )A 8 B 6 C 4 D 2【答案】C【解析】实数a,b满足ab0, 则, 当且仅当时等号成立 故选:C3【浙江省2019届高考模拟卷(二)】若点位于由曲线与围成的封闭区域内(包括边界),则的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】画出曲线与围成的封闭区域,如图阴影部分所示表示封闭区域内的点和定点连线的斜率,设,结合图形可得或,由题意得点A,B的坐标分别为,或,的取值范围为故选D4.已知函数,若满足,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:由已知条件可得,函数是定义在上的奇函数,从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组,画出相应的可行域,之后结合目标函数的几何意义,确定最优解的位置,从而求得范围.详解:根据题中所给的函数解析式,可知函数是定义在上的奇函数,从而可以转化为,并且,可以判断出函数在定义域上是减函数,从而有,根据约束条件,画出对应的可行域,根据目标函数的几何意义,可知在点处取得最小值,在点处取得最大值,而边界值取不到,故答案是,故选C.点睛:该题属于利用题的条件,求得约束条件,确定可行域,结合目标函数是分式形式的,属于斜率型的,结合图形,求得结果.5已知函数 ,函数 有四个不同的零点,从小到大依次为 , , , ,则 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:先根据对称性可得,且,再根据韦达定理可得,利用基本不等式,结合选项可得结果.详解:函数 ,函数 的零点,就是的图象与交点的横坐标,是方程的两根,即为的两个根,由韦达定理可得,是的两根,的图象向左平移一个单位可得
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