高一期中数学复习学案（解三角形） 班级 姓名 一、前置作业1已知，求2.在中，如果=568，那么此三角形最大角的余弦值是 3在中，、分别为角、的对边，若，则边的 长等于 ； 外接圆的面积是 4中，则 5已知在ABC中，则此三角形的形状为 6在ABC中，角A、B、C的对边分别为则 7、（1）在中，若 ，则等于 （2）在中，,分别是，的对边，且，则等于 ；8、在中，,若这个三角形有两解，则的取值范围 二、典型例题 例1：已知的周长为，且（1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数例2、在ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=(cosA,sinA),n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2.（1）求角A的大小； （2）若b=4,且c=a，求ABC的面积.例3、在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B） =（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.例4、 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小； （2）若a=，求三角形面积的最大值 （3）求的值.三、课堂巩固：1、在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积 则C的度数是_2、在ABC中，若，则ABC的形状为 .3、在，求（1）边BC的大小； （2）若点4、要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB=75， BCD=45，ADC=30，ADB=45，求A、B之间的距离。四、课后作业1在中，则BC = 2在中，若，则 3、 在中，角所对的边分别为，若，则 4在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值 5、设的内角所对的边长分别为，且（1）求的值； （2）求的最大值6、在中， （1）求的值； （2）设的面积，求的长7、在中，内角对边的边长分别是，已知，（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积；（3）求周长的最大值。8、为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图所示，要求ACB=60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？ 高一期中数学复习学案（解三角形） 班级 姓名 一前置作业1已知，求2.在中，如果=568，那么此三角形最大角的余弦值是 3在中，、分别为角、的对边，若，则边的长 等于 ； 外接圆的面积是 4中，则 5已知在ABC中，则此三角形的形状为 6在ABC中，角A、B、C的对边分别为则 7、（1）在中，若 ，则等于 （2）在中，,分别是，的对边，且 则等于 8、在中，,若这个三角形有两解，则的取值范围 典型例题 例1：已知的周长为，且（1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数例2、ABC中，（1）求ABC的周长的最大值 （2）求的面积的最大值。例1：在，求（1）边BC的大小； （2）若点在ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=(cosA,sinA),n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2.（1）求角A的大小；（2）若b=4,且c=a，求ABC的面积.解 （1）m+n=(+cosA-sinA,cosA+sinA)|m+n|2=(+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2=2+2(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2=2+2(cosA-sinA)+2=4-4sin（A-）|m+n|=2,4-4sin（A-）=4,sin（A-）=0.又0A,-A-,A-=0,A=.(2)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA,又b=4,c=a,A=，得a2=32+2a2-24a,即a2-8a+32=0,解得a=4，c=8.SABC=bcsinA=48sin=16.SABC=(4)2=16. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2c2），则C的度数是_在ABC中，若，则ABC的形状为 .变式1: 是ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值.解 （1）cosA=-, 2分又A（0，180），A=120. 4分（2）由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc（当且仅当c=b时取等号），3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号）. 6分即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1. 8分（3）由正弦定理得：2R, 10分= 11分= 12分= 13分=. 14分例4 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求A、B之间的距离.解 如图所示，在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.BC=.ABC中，由余弦定理，得AB2=()+()-2cos75=3+2+-=5，AB=(km).A、B之间的距离为 km. 3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图所示，要求ACB=60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解 设BC=a（a1）,AB=c，AC=b，b-c=.c2=a2+b2-2abcos60，将c=b-代入得(b-)=a2+b2-ab, 化简得b(a-1)=a2-.由a1,知a-10.b=(a-1)+ +2+2,当且仅当a-1=时，取“=”号，即a=1+时，b有最小值2+.答 AC最短为(2+)米，此时，BC长为(1+)米.如图所示，有两条相交成60角的直路XX和YY，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿XX方向，乙沿YY的方向步行.（1）起初，两人的距离是多少？（2）用t表示t小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解 （1）设甲、乙两人起初的位置是A、B，则由余弦定理：|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|OB|cos60=32+12-231=7,|AB|=.所以甲、乙两人起初的距离是km.（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则|AP|=4t，|BQ|=4t，当0t时，由余弦定理|PQ|2=（3-4t）2+（1+4t）2-2（3-4t）（1+4t）cos60，当t时，|PQ|2=（4t-3）2+（1+4t）2-2（4t-3）（1+4t）cos120.注意到上面两式实际上是统一的，所以|PQ|2=（16t2-24t+9）+（16t2+8t+1）+（16t2-8t-3）=48t2-24t+7，即|PQ|=.（3）|PQ|=，当t=时，|PQ|的最小值是2.即在第15分钟末，两人的距离最短.