波的折射与反射在电力系统中，我们常常会遇到下列情况：线路末端与另一不同波阻抗的线路相连，如一架空线与一电缆线相连接；线路末端接有集中参数阻抗（如电阻、电容、电感或者它们的组合）等。在这些情况下，当线路上有行波传播且到达两个不同波阻抗的连接点或者到达接有集中参数的接点时，将会发生什么情况呢？这就是本节要讨论的主要问题，下面以两条不同波阻抗线路相连接的情况为例子来讨论。2.2.1 行波的折、反射规律若具有不同波阻抗的两条线路相连接，如图2-5，连接点为。现将线路合闸于支流电源，合闸之后沿线路 有一与电源电压相同的前行电压波自电源向结点传播，到达结点遇到波阻为的线路，根据前一节所述，在结点前后都必须保持单位长度导线的电场能与磁场能都相等的规律，但是由于线路与的单位长度电感与对地电容都不相同，因此当到达点时必然要发生电压、电流的变化，也就是说，在结点处要发生行波的折射与反射，反射电压波自结点处要发生行波的折射与反射，反射电压波自结点沿线路返回传播，折射电压波则自结点沿线路继续向前传播。显然，此折射电压波也就是线路上的前行电压波，以表示。通过下面的分析，可以求得反射电压波和折射电压波。图2-5 行波在结点的折射与反射假设折射电压波尚未到达线路的末端，即线路上尚未出现反行电压波，一般的说法是虽然已经到达的末端，线路上已经出现反行电压波，但此反行电压尚未到达结点。对于线路：对于线路，因上的反行电压波，故（也即）在结点处只能有一个电压和电流值，故于是得 （2-13） （2-14）将（2-14）化为下式即 （2-15）将式（2-13）与（2-15）相加，得故 （2-16） （2-17）将代入式（2-13）可得 （2-18） （2-19）式中表示线路上的折射电压波与入射电压波的比值，称为电压折射系数，同理，称为电流折射系数。表示线路上的反射电压波与的比值，称为电压反射系数，同理，称为电流反射系数。折射系数的值永远是正确的，这说明折射电压波总是和入射电压波同极性的，当时，：当时，因此。反射系数可正可负，当时候，时，当时，因此。同理可知，。折射系数与反射系数满足下列关系式 （2-20）下面举几个简单的例子。例2-1线路末端开路，沿线路有一无限长直角波向前传播，线路末端开路，相当于末端接有一条的线路，因此根据式（2-16）、（2-17）、（2-18）和（2-19），可得即这表明当到达末端时将发生折反射，反射电压波等于入射电压波，折射电压波即末端电压将上升一倍，末端电流为零，反射电压波将自末端返回传播，所到之处使电压上升一倍，电流降为零值。反射电压波到达处的全部磁场能量将转变为电场能量，从而使电压上升一倍。2.2.2 几种特殊条件下的折反射波1线路末端开路（）此时，a 2，b 1。线路末端电压，反射波电压；线路末端电流i2q0，反射波电流，如图2-6所示。这一结果表明，由于线路末端发生电压波正的全反射和电流波负的全反射，线路末端的电压上升到入射电压的两倍；随着反射波的逆向传播，所到之处线路电压也加倍，而由于电流波负的全反射，线路的电流下降到零。图2-6线路末端开路时的折反射线路开路末端处电压加倍、电流变零的现象也可以从能量关系来理解：因为，全部能量均反射回去，反射波返回后单位长度的总能量为入射波能量的两倍。又由于入射波的电场能量与磁场能量相等，因此反射波返回后单位长度线路储存的总能量为。因为反射波到达后线路电流为零，故磁场能量为零，全部磁场能量转化为电场能量，因此电场能量增加到原来的4倍，即电压增大到原来的2倍。过电压波在开路末端的加倍升高对绝缘是很危险的，在考虑过电压防护措施时对此应给予充分的注意。2末端短路此时，a 0，b -1。线路末端电压，反射波电压；线路末端反射波电流，如图2-7所示。这一结果表明，入射波u1q到达末端后，发生了负的全反射，负反射的结果使线路末端电压下降为零，并逐步向首端发展；电流波i1q发生了正的全反射，线路末端的电流，即电流上升到原来的2倍，且逐步向首端发展。图2-7 线路末端短路时的折反射线路末端短路时电流的增大也可以从能量的角度加以解释，显然这是电磁能从末端返回而且全部转化为磁能的结果。3末端接有电阻此时，a1，b0。线路末端电压，反射波电压；线路末端反射波电流为零，如图2-8所示。这一结果表明，入射波到达与线路波阻抗相同的负载时，没有发生反射现象，相当于线路末端接于另一波阻抗相同的线路（），也就是均匀线路的延伸。在高压测量中，常在电缆末端接上和电缆波阻相等的匹配电阻来消除在电缆末端折、反射所引起的测量误差。但从能量的角度看，两者是不同的。当末端接电阻时，传播到末端的电磁能全部消耗在电阻R中；而当末端接相同波阻抗的线路时，该线路上并不消耗能量。 图2-8 末端接有电阻R=Z1时的折反射【例2-2】直流电源合闸于空载线路的波过程。如图2-9所示，线路长度为l，t0时合闸于电压为U0的直流电源，求线路末端B点和线路中点C点电压随时间的变化。解 合闸后，从t0开始，电源电压U0自线路首端A点向线路末端B点传播，传播速度为，自A点传播到B点的时间设为t ，设线路波阻抗为Z。当0 t t 时，线路上只有前行的电压波和前行的电流波。如图2-9 （ a ）所示。当t t 时，波到达开路的末端B点，电压波和电流波分别发生正全反射和负全反射，形成反行的电压波和电流波。此反射波将于t 2t 时到达A点。当t t 2t 时，线路上各点电压由u1q 和u1 f 叠加而成，电流由i1q 和i1f 叠加而成。如图2-9 （ b ）所示。当t 2t 时，反行波u1 f 到达线路的首端A点，迫使A点的电压上升为2U0 。但由电源边界条件所决定的A点电压又必须为U0 。因此反行波u1 f 到达A点的结果是使电源发出另一个幅值为一U0的前行波电压来保持A点的电压为U0，即在t 2t 之后， 有一新的前行电压波自A点向B点行进，同时产生新的前行电流波。在2t t 3t 时，线路上各点的电压由u1q、u1 f 和u2q 叠加而成，线路上各点的电流由i1q、i1f 和i2q 叠加而成，如图2-9 （ c ） 所示。图2-9 直流电源作用于末端开路的空载线路的波过程当t 3t 时，新的前行波到达B点，电压波和电流波分别发生正全反射和负全反射，形成新的反行电压波和电流波。此反射波将于t 4t 时到达A点。当3t t 4t 时，线路上各点电压由u1q 、u1f 、u2q 和u2f 叠加而成，电流由i1q 、i1f 、i2q和i2f 叠加而成。如图2-9 （ d ）所示。当t 4t 时，反行波u2f 到达线路的首端A点，迫使A点的电压下降为0。但由电源边界条件所决定的A点电压又必须为U0 。因此反行波u2f 到达A点的结果是使电源发出另一个幅值为U0的前行波电压来保持A点的电压为U0 ，从而开始重复图2-9 （ a ）所示的新的波过程。图2-10 空载线路末端和中点电压波形如此反复往返传播，根据所有前行反行波叠加的结果，可以得到如图2-10所示线路末端B点电压和中间点C点的电压随时间变化的曲线。【例2-3】空载带电线路合闸于末端匹配的电阻。如图2-11所示，长度为l、波阻抗为Z的线路预先充电到电压U0 ，t 0时合闸于阻值为R的电阻，求电阻两端电压降随时间的变化。解 可以用波过程观点进行求解。波在线路上的传播速度为。在带电的空载线路上，可以看成存在两个带有相同电压、波长度为t l / v、传播方向相反的波；由于传播方向相反，因此线路上不存在电流。设两个电压波为u1q 和u1f ，则，如图2-11 （ a ）所示。t 0时，u1q 到达B点，由于，故B点处不发生反射，。同时，u1 f 到达A点，由于线路在A点开路，故电压波发生正的全反射，形成反射波u2 f ，u2 f 将在t t 时到达B点，其尾部到达A点。因此，当0 t t 时，电阻上的压降由u1q导致，其值为；线路上的电压由u1q 、u1 f 和u2 f 叠加而成，如图2-11（ b ） 所示。当t t 时，u1q 的尾部到达B点，u1q 对R的作用结束；u1f 的尾部到达A点，线路上不再存在u1 f ；u2 f 到达B点，同样在B点不发生反射，。当t 2t 时，u2 f 的尾部到达B点。因此，当t t 2t 时，电阻上的压降由u2 f 决定，仍为；线路上的电压由u2 f 形成，如图2-11（ c ） 所示。当t 2t 时，u2 f 的尾部到达B点，u2 f 对R的作用结束。uR 随时间的变化如图2-12所示，为一幅值为，宽度为2t 的矩形波。根据这一原理，可以用电缆做成星形线产生设定脉宽的方波，在脉冲功率系统中有广泛的应用。图2-11 带电线路合闸于末端接匹配电阻的波过程 图2-12 空载带电线路合闸于电阻时的电阻电压波形2.2.3 等值集中参数定理（彼得逊法则）前面的内容从分布参数线路上波传播的角度，分析了波的折射和反射的计算问题。将代入式（2-15），得 （2-21）联立求解方程式（2-13）和（2-21），消去u1 f ，得到另一个表示入射电压和电流间的关系式 （2-22）不难看出，上式正好是图2-13（ b ） 所示集中参数电路的电路方程。由此可以得到一条重要的法则，要计算分布参数线路上节点的电压，可以应用图2-13所示的等值电路：线路波阻抗用数值相等的集中参数电阻代替；把线路入射电压波的两倍2 u1q作为等值电压源。这就是计算折射波u2q 的等值电路法则，称之为彼得逊法则。 图2-13 电压源的集中参数等值电路（戴维南等值电路）利用这一法则，可以把分布参数电路中的波过程的许多问题，简化成我们所熟悉的集中参数电路的计算。必须注意的是，彼得逊法则的使用是有一定的条件的。首先它要求波沿分布参数的线路射入；其次，和节点相连的线路必须是无穷长的。如果节点A两端的线路为有限长的话，则以上等值电路只适用于线路端部的反射波尚未到达节点A的时间内。在实际计算中，常常遇到电流源的情况（如雷电流）。此时采用电流源形式的等值电路较为方便，如图2-14所示。 图2-14 电流源的集中参数等值电路（诺顿等值电路）【例2-4】如图2-15 （a ） 所示，变电所母线上接有n条线路，每条线路的波阻抗均为Z。当一条线路上落雷，电压u（ t ）入侵变电所，求母线上的电压。解 根据彼得逊法则，可得图2-15（ a ）的等值计算电路，如图2-15（ b ） 所示。母线上的电压u2（ t ） 计算如下： 图2-15 有多条出线时母线过电压的计算可见，连接在母线上的线路越多，母线上的过电压越低，对变电所降低雷电过电压有利。