专题17 立体几何中的最值问题【压轴综述】在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离(长度)的最值问题；二是面(体)积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数(其它几何量)的值.从解答思路看，有几何法(利用几何特征)和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握.一、涉及几何体切接问题最值计算求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；二.涉及角的计算最值问题1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角四结论3.线面角的计算：(1)利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证-三计算”. (2)利用向量法求线面角的方法(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.【压轴典例】例1.(2020全国卷理科T15)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.【解析】方法一:易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O,由于AM=2,故SABC=22=2,设内切圆半径为r,则SABC=SAOB+SBOC+SAOC=ABr+BCr+ACr=r=2,解得r=,其体积:V=r3=.方法二:分析知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球,如图,由题可知圆锥的母线长为BS=3,底面半径为 BC=1,高SC=2,不妨设该内切圆与母线BS切于D点,令OD=OC=r,则由SODSBC,可得=,即=,得r=,此时V=r3=.例2(2021浙江高三月考)已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是( )ABCD【答案】B【详解】点关于的对称点为，关于的对称点为，记为直线与之间的距离，则，由，为到平面的距离，因为，而，故，例3(2020陕西西安一中)如图，正方体的棱长为，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动.若，且面积的最大值为，则a的值为( )A1B3CD2【答案】D【详解】取的中点，如图，连接， ，因为正方体的棱长为，所以，平面，平面，平面，所以，所以，所以，由，平面，平面，可得平面，所以，所以点的轨迹为线段，又,所以面积的最大值，则.例4(2021河南高三月考)九章算术卷五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马(如图)，平面.，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为( )ABCD【答案】B【详解】把平面展开到与平面共面的的位置(如下图)，延长到，使得，则，因为的长度为定值，故只需求最小，只需，四点共线，因为，所以，所以，由正弦定理得，外接圆的半径.设外接圆的圆心为，则三棱锥外接球的球心一定在过且与平面垂直的直线上，因为到点，的距离相等，所以，此即为三棱锥外接球的半径，所以该球的表面积为.例5(2021山东高三)四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为矩形，点是棱的中点，顶点在底面的射影为，则下列结论正确的是( )A棱上存在点使得面B当落在上时，的取值范围是C当落在上时，四棱锥的体积最大值是2D存在的值使得点到面的距离为【答案】A【详解】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD.PE为BCS的中位线， PEBS又面BFS，面BFS，PE面BFS；在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，DEBF,又面BFS，面BFS，DE面BFS；又,面PDE面BFS，面.故A正确；对于B：为等边三角形，当时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，故B错误；对于C：在RtSHE中，当且仅当时，的最大值为1.故C错误；对于D:由选项C的推导可知：当的最大时，点B到面的距离d最大.，此时，.故D错误.例6(2020浙江高三其他模拟)空间中13个不同的点构成的集合，满足当时，都是正四面体.对于任意平面，的最大值是( )A9B10C11D12【答案】C【详解】为使得对于任意平面，取得最大值，故要使得使之在同一平面中三棱锥顶点最多，如下所示：如图所示：三棱锥，均为正四面体,显然，最多有11个点在同一平面中.同时，若同一平面中存在12个三棱锥的顶点，则只有1个点在平面外，无法构造几何体.故的最大值为：.例7(2021湖北高三月考)如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则( )A无论点在线段上如何移动，都有 B四面体的体积为24C直线与所成角的余弦值为D直线与平面所成最大角的余弦值为【答案】ABD【详解】在正方体中，易证面又平面所以则A正确；则B正确；在棱上取点使，连结如图则易知为直线与所成角或其补角，可得则则直线与所成角的余弦值为则C错误；由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面为垂足，则为正的中心，且为直线与平面所成角，所以当点移动到的中点时最短，如图，此时最小，最大，此时则D正确.例8如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内(不包括边界)，使四面体体积为，则的最小值是_【答案】【解析】由已知得四面体体积 所以设到的距离为，则解得所以在底面内(不包括边界)与平行且距离为的线段 上，要使的最小，则此时是过作的垂线的垂足.点到的距离为所以此时例9.(2020新高考全国卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【解析】(1)因为PD底面ABCD,所以PDAD.又底面ABCD为正方形,所以ADDC,又DCPD=D,DC,PD平面PDC,所以AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD平面PBC,由平面PAD与平面PBC的交线为l,可得lAD.因此l平面PDC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1),设n=(x,y,z)是平面QCD的一个法向量,则即可取n=(-1,0,a).所以cos􀎮n,􀎯=.设PB与平面QCD所成角为,则sin =.因为,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.例10.(2020深圳市高级中学高三)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；(2)求三棱锥PABC体积的最大值；(3)若，点E在线段PB上，求CEOE的最小值【答案】(1)见解析；(2)；(3)【解析】 (1)证明：在AOC中，因为OAOC，D为AC的中点，所以ACDO.又PO垂直于圆O所在的平面，所以POAC.因为DOPOO，所以AC平面PDO.(2)解：因为点C在圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB2，所以ABC面积的最大值为.又因为三棱锥PABC的高PO1，故三棱锥PABC体积的最大值为. (3)解：在POB中，POOB1，POB90，所以.同理，所以PBPCBC.在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP，使之与平面ABP共面，如图所示当O，E，C共线时，CEOE取得最小值又因为OPOB，所以垂直平分PB，即E为PB的中点从而，即CEOE的最小值为.【压轴训练】1.(2020河北邢台高三)设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )ABCD【答案】B【解析】如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，,点M为三角形ABC的中心，中，有，。2. (2020山东济南高三)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为( )ABCD【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为.3(2020山西高三)两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】设球与球的半径分别为r1,r2,r1+r2+ (r1+r2)=. r1+r2=，r1+r22,球与球的面积之和为：S=4(+)=4(r1+r2)282=(63),当且仅当r1=r2时取等号，其面积最小值为(63).故选A.4.(浙江省余姚中学高三)如图，已知平面，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是( )A B C D 【答案】B【解析】，同理，为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，又，在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则，设，整理可得：在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆平面平面，为二面角的平面角，