2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示目录一、题型全归纳1题型一 平面向量基本定理及其应用1题型二 平面向量的坐标运算4题型三 平面向量共线的坐标表示5命题角度一利用两向量共线求参数或坐标5命题角度二利用向量共线求解三点共线问题6题型四 平面向量与三角形的“四心”问题7一、平面向量与三角形的“重心”问题8二、平面向量与三角形的“内心”问题8三、平面向量与三角形的“垂心”问题9四、平面向量与三角形的“外心”问题10二、高效训练突破11一、题型全归纳题型一 平面向量基本定理及其应用【题型要点】1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2.平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【易错提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理 【例1】如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()A.BC D【答案】C【解析】法一：如图取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以，所以，于是，故选C.法二：().【例2】(2020西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若m，则实数m的值为_【答案】【解析】由N是OD的中点，得()，又因为A，N，E三点共线，故，即m，又与不共线，所以解得故实数m.题型二 平面向量的坐标运算【题型要点】向量坐标运算的策略向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则【例1】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【答案】见解析【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3,24)(3，4)(0,20)，所以M(0,20)，又因为2b，所以2b(12,6)(3，4)(9,2)，所以N(9,2)所以(9，18)【例2】(2020厦门外国语学校模拟)已知点A(1,1)，B(0,2)，若向量(2,3)，则向量()A(3，2) B(2，2)C(3，2) D(3,2)【答案】D【解析】由已知，得(1,1)，则(2,3)(1,1)(3,2)【例3】已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Aab B.abCab Dab【答案】B【解析】设cab.则(1,2)(1,1)(1，1)，所以解得所以cab.题型三 平面向量共线的坐标表示命题角度一利用两向量共线求参数或坐标【题型要点】1平面向量共线的充要条件的两种形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10(2)若ab(b0)，则ab.2利用向量共线求参数值向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解【例1】(2020开封模拟)已知平面向量a，b，c，a(1，1)，b(2，3)，c(2，k)，若(ab)c，则实数k_【答案】8【解析】由题意，得ab(1，4)，由(ab)c，得1k4(2)，解得k8.【例2】已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_【答案】(2，4)【解析】因为在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，所以2.设点D的坐标为(x，y)，则(4，2)(x，y)(4x，2y)，(2，1)(1，2)(1，1)，所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)命题角度二利用向量共线求解三点共线问题【例3】已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值【答案】见解析【解析】：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：因为A，B，C三点共线，所以，即2a3b(amb)，所以，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为A，B，C三点共线，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.【例3】(2020江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A B C. D【答案】A【解析】(4k，7)，(2k，2)因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以2(4k)7(2k)，解得k.题型四 平面向量与三角形的“四心”问题【题型要点】设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.一、平面向量与三角形的“重心”问题【例1】(2020江西上饶重点中学六校联考)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()AABC的内心BABC的垂心CABC的重心 DAB边的中点【答案】C【解析】取AB的中点D，则2，因为(1)(1)(12)，所以2(1)(12)，而1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过ABC的重心二、平面向量与三角形的“内心”问题【例2】在ABC中，AB5，AC6，cos A，O是ABC的内心，若xy，其中x，y0，1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A.BC4D6【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC面积的2倍在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a7.设ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A(abc)r，解得r，所以SBOCar7.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC.三、平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B垂心 C外心 D内心【答案】B【解析】因为，所以，所以(|)0，所以，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过ABC的垂心四、平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对(x，y)为()A. BC. D【答案】A【解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则，(xy)y，(xy)x.由，得2y0，由，得2x0，又因为2()222，所以，把代入，得解得x，y.故实数对(x，y)为.二、高效训练突破一、选择题1(2020绍兴模拟)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0) B(3,6) C(6,2) D(2,0)【答案】A【解析】因为3a(5，6)3(1，2)(2,0)，所以点N的坐标为(2,0)2(2020山东德州一模)已知ABC的三边分别是a，b，c，设向量m(sinBsinA，ac)，n(sinC，ab)，且mn，则B的大小是()A. B. C. D.【答案】B【解析】因为mn，所以(ab)(sinBsinA)sinC(ac)由正弦定理得，(ab)(ba)c(ac)，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cosB.又0B，所以B.3.在平面直角坐标系中，已知向量a(1，2)，ab(3，1)，c(x，3)，若(2ab)c，则x()A2 B4 C3 D1【答案】D.【解析】：因为ab(3，1)，所以a(3，1)b，则b(4，2)所以2ab(2，6)又(2ab)c，所以66x，x1.故选D.4(2020安徽合肥第一次质检)设向量a(3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|10，则向量b的坐标为()A. B(6，8)C. D(6，8)【答案】D.【解析】：因为向量b与向量a方向相反，所以可设ba(3，4)，0，则|b|5|510，所以2，所以b(6，8)故选D.