专题6 二次函数的线段、角度与面积问题（解析版）类型一 线段问题1（2022秋西华期中）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（12，0），B（52，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E求直线BC的解析式；当线段DE的长度最大时，求点D的坐标思路引领：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题设D坐标为（m，m23m+54），则点E坐标为（m，12m+54），设DE的长为d，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（12，0），B（52，0）两点，14+12b+c=0254+52b+c=0，解得b=3c=54故该抛物线解析式为：yx23x+54；（2）令x0，得y=54，C（0，54）设直线BC的解析式为ykx+b，则有52k+b=0b=54，解得k=12b=54，直线BC的解析式为y=12x+54；设D坐标为（m，m23m+54），点E坐标为（m，12m+54），设DE的长为d，D是直线BC下方的一点，d（12m+54）（m23m+54）m2+52m（m54）2+2516，当m=54时，线段DE的长度最长，此时D（54，1516）总结提升：本题属于二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型2（2022秋荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OAOC5OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值思路引领：（1）OAOC5OB5，即可求解；（2）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x5）a（x24x5），即可求解；（3）PDHPsinPFD=22（x5x2+4x+5），即可求解解：（1）OAOC5OB5，故点A、C的坐标分别为（5，0）、（0，5）；（2）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x5）a（x24x5），即5a5，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx24x5；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：ykx5，将点A坐标代入上式并解得：k1，故直线CA的表达式为：yx5，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC5，OACOCA45，PHy轴，PHDOCA45，设点P（x，x24x5），则点H（x，x5），PDHPsinPHD=22（x5x2+4x+5）=22x2+522x，220，PD有最大值，当x=52时，其最大值为2528，此时点P（52，354）总结提升：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3）中用函数关系表示PD是本题解题的关键3（2021秋鼓楼区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OAOC4OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在过A，B，C三点的抛物线上，是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当0PD22时，请直接写出点P横坐标的取值范围思路引领：（1）根据题意可以求得点C和点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）根据题意作出合适的图形，然后利用分类讨论的数学思想即可求得符合条件的点P的坐标；（3）过点P作y轴的平行线交AC于点Q，可得PQ=2PD，根据直线解析式和抛物线解析式求出线段PQ的解析式，可得当x2时，P点坐标为（2，6），此时PQ的最大值为PQ4，由此得出点P横坐标的取值范围解：（1）点点B的坐标为（1，0），且OAOC4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，OB1，OAOC4OB4，点C的坐标为（0，4），点A的坐标为（4，0），设抛物线的解析式为yax2+bx+c，a+b+c=016a4b+c=0c=4，解得a=1b=3c=4，即抛物线的解析式为yx23x+4；（2）存在，第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CP1AC交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足为M，ACP190，MCP1+ACO90，ACO+OAC90，MCP1OAC，OAOC，MCP1OAC45，MCP1MP1C，MCMP1，设点P1（m，m23m+4），则m+4m23m+4，解得，m10（舍去），m22，当m2时，m23m+46，点P1（2，6）；第二种情况，当点A为直角顶点时，过点A作AP2AC交抛物线于点P2，交y轴于点F，作P2Ny轴于点N，P2Nx轴，CAO45，FP2NFAO45，P2FN45，AFO45，P2NNF，OFOA，设P2（n，n23n+4），则n+4（n23n+4），解得，n14（舍去），n22，当n2时，n23n+46，即P2（2，6），由上可得，点P的坐标是（2，6）或（2，6）；（3）点A坐标为（4，0）点C坐标为（0，4），直线AC的解析式为yx+4，过点P作y轴的平行线交AC于点Q，设点P坐标为（xx23x+4），其中4x0，则点Q坐标为（x，x+4），点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，PQ（x23x+4）（x+4）x24x，PQ（x+2）2+4，即当x2时，P点坐标为（2，6），此时PQ的最大值为PQ4，又CAOOCA45，PQy轴，PQDOCA45，PQD是等腰直角三角形，PQ=2PD，又0PD22，0PQ4，即：0x24x4，当x2时，PQ的最大值为PQ4，此时PD22当0PD22时，点P横坐标的取值范围为：4x0且x2总结提升：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰直角三角形的性质在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果其中（3）得出PQ=2PD，并用函数关系表示PQ是本题解题的关键，类型二 面积问题4（2022秋五华区校级期中）已知，如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（3，7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C（1）求抛物线对应的函数解析式和直线AB对应的函数解析式（2）在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得SDAC2SDCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由思路引领：（1）抛物线的表达式为：ya（x1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a1，即可求解二次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；（2）SDAC2SDCM，则HN2GH，即1k（3k7）2（9k1+k），即可求解解：（1）设抛物线的表达式为：ya（x1）2+9，将点A的坐标代入得7a（31）2+9，解得a1，抛物线的表达式为：yx2+2x+8，将点B（3，m）代入得，m9+6+85，点B（3，5）；设直线AB为ykx+n，3k+n=73k+n=5，解得k=2n=1，直线AB的解析式为y2x1（2）过点M、C、A分别作三条相互平移的平行线，分别交y轴于点G、H、N，直线l与抛物线交于点D，设直线m的表达式为：ykx+t，将点M的坐标代入得9k+t，t9k，直线m的表达式为：ykx+9k，当x0时，y9k，点G（0，9k），同理直线l的表达式为：ykx+1k，故点H（0，1k），同理直线n的表达式为：ykx+3k7，故点N（3k7），SDAC2SDCM，HN2GH，1k（3k7）2（9k1+k），解得：k2，直线l的表达式为：y2x+3，由y=2x+3y=x2+2x+8解得x=5y=7或x=1y=5，点D（1，5）总结提升：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系5（2022秋抚远市期末）如图，抛物线y（x1）2+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点D与点C关于抛物线的对称轴对称（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）P是抛物线上的一点，当ABP的面积是8时，直接写出点P的坐标思路引领：（1）根据点C的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标及AB的长，设点P的坐标为（a，b），由三角形的面积公式结合ABP的面积是8，可求出b值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标解：（1）抛物线y（x1）2+n与y轴交于点C（0，3），3（01）2+n，m4，抛物线的解析式为y（x1）24，抛物线的对称轴为直线x1点D与C关于抛物线的对称轴对称，点D的坐标为（2，3）；（2）当y0时，（x1）240，解得：x11，x23，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），AB3（1）4设点P的坐标为（a，b），ABP的面积是8，12AB|b|8，即124|b|8，b4当b4时，（a1）244，解得：a1122，a21+22，点P的坐标为（122，4）或（1+22，4）；当b4时，（a1）244，解得：a3a41，点P的坐标为（1，4）当ABP的面积是8，点P的坐标为（122，4）或（1+22，4）或（1，4）总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用二次函数图象