第27讲 同余法解题学习目标余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识梳理 一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)三、中国剩余定理1.中国古代趣题韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 2.核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。先由，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：，其中k是从1开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。典例分析 一、带余除法的定义和性质例1、两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_例2、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？例3、一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数二、三大余数定理的应用例1、一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？例2、被除所得的余数是多少？例3、除以41的余数是多少？例4、求所有的质数P，使得与也是质数例5、甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少？三、 余数综合应用例1、设是质数，证明：，被除所得的余数各不相同例2、从1，2，3，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？ 例3、已知n是正整数，规定，令，则整数m除以2008的余数为多少？例4、有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。例5、设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么？四、 中国剩余定理例1、一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数例2、一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？ 例3、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？例4、在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？例5、一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数 实战演练 课堂狙击1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.2、求的最后两位数3、试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和4、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数5、的末三位数是多少？6、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 课后反击1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。2、求除以7的余数3、若为自然数，证明4、将自然数1，2，3，4依次写下去，若最终写到2000，成为，那么这个自然数除以99余几？5、一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？6、对任意的自然数n，证明能被1897整除 直击赛场 1、(南京市少年数学智力冬令营试题) 与的和除以7的余数是_2、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的2倍，则丙手中卡片上的数是_(第五届小数报数学竞赛初赛) 3、(奥数网杯)已知，问：除以13所得的余数是多少？4、(“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式 (其中)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的是多少？5、(华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? 重点回顾 一、带余除法的定义及性质二、三大余数定理：1.余数的加法定理2.余数的乘法定理3.同余定理四、中国剩余定理1.中国古代趣题2.核心思想和方法名师点拨 弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是