函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性1 单调性概念如果函数y= f (x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1、x2时， 都有f (x1) f (x2)，则称f (x)在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x)在整个定义域I内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x)称单调函数.2 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内是单调递增；如果，那么函数在这个区间内是单调递减。二、函数的奇偶性3奇偶性概念 如果对于函数f (x)定义域内的任意x，都有f (x)=f (x)，则称f (x)为奇函数；都有f (x)= f (x)，则称f (x)为偶函数；如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数f (x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。4性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。5函数f (x)为奇函数，且在处有定义，则三、函数的周期性6周期性概念 如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f (x+T)= f (x)，则称f (x)为周期函数。T是f (x)的一个周期。若f (x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x)的最小正周期。学习重点一、函数的单调性1函数单调性的证明方法（1）定义法：任取；论证根据定义，得出结论。（2）导数法2 若要证明在区间上不是单调函数，只要举出反例即可。3 如果知道的单调性，判断的单调性4 复合函数的单调性：“同增异减”设复合函数y= f g(x),其中u=g(x) , A是y= f g(x)定义域的某个区间，B是g(x) 的值域若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f (u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f (u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数。5 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。6 运用函数的单调性可以解“含的抽象函数”的不等式。二、函数的奇偶性7 函数奇偶性的证明方法：定义法（首先检验函数的定义域是否关于原点对称）。8要证一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与a，验证f (a)f (a)09如果知道的奇偶性，判断，的奇偶性。三、函数的周期性1f (x+T)= f (x)常常写作。2若周期函数f (x)的周期为T，则f (x)（0）是周期函数，且周期为3函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。例题讲评例1已知函数f (x)=的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。(1) 求m , n的值；（2）试用单调性的定义证明：在区间上是单调函数.例2设f (x)是定义在R上的偶函数，在区间（，0）上单调递增，且满足, 求实数a的取值范围。例3判断下列函数的奇偶性：例4（1）是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T, 则的值为A B0 CTD（2）定义在实数集上的函数满足，且，则是以 为一个周期的周期函数.（3）已知定义在R上的函数y= f (x)满足f (2+x)= f (2x)，且f (x)是偶函数，当x0，2时，f (x)=2x1，当x4，0时，f (x)的表达式为._练习题一、 选择题1若函数, 则该函数在上是 A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值2若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x) c bBabcCba cDc ab5若f (x)是奇函数,且在(0,+)上是增函数, 又，则xf (x)0的解集是Ax|3x0或x3 Bx|x3或0x3C. D. 6如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在上是减函数，那么下述式子中正确的是ABC D以上关系均不确定7是定义在R上，以2为周期的偶函数， 时,的表达式为A B C D8对于函数=1g 的奇偶数性，下列判断中正确的是A是偶函数 B是奇函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数9奇函数y= f（x）（x0），当x（0，+）时，f（x）= x1，则函数f（x1） 的图象为10设f (x)为奇函数，对任意xR，均有f (x+4)=f (x)，已知f (1)=3，则f (3)等于A3 B3 C4 D411设函数f (x)是定义在R上以3为周期的奇函数，若f (1)1，f (2)，则Aa Ba且a1 Ca或a1 D.1a12下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A B C D二、 填空题13设偶函数f (x)在上为减函数，则不等式f (x) f (2x+1) 的解集是 14若函数f (x)=4x3ax+3的单调递减区间是，则实数a的值为 .15若函数是奇函数，则a= 16 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_.三、解答题17已知f (x)是定义在R上的增函数，对xR有f (x)0，且f (5)=1，设F(x)= f (x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。18设函数，（1）当k为何值时，函数f (x)单调递减区间是（0，4）；（2）当k为何值时，函数f (x)在（0，4）内单调递减。19已知函数y=f (x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y= f (x) (1x1)是奇函数，又知y=f (x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为5。（1）证明：f (1)+f (4)=0；（2）试求y=f (x)在1，4上的解析式；（3）试求y=f (x)在4，9上的解析式。函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案（三）、例题讲评例1解：(1)由于f (x)图象关于原点对称，则f (x)是奇函数,由 得例2为R上的偶函数， 在区间上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称， 在区间（0，+）上单调递减， 实数a的取值范围是（4，1）.例3（1）函数定义域为R， ， f(x)为偶函数； （另解）先化简：，显然为偶函数； 从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：设设当x=0时f(x)=0，也满足f (x)=f (x)；由、知，对xR有f (x) =f (x)， f (x)为奇函数；（3），函数的定义域为，f(x)=log21=0(x=1) ，即f(x)的图象由两个点 A（1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数；例4（1）选B; (2) 4; 提示：（3）由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f (x)为偶函数， 当x2，0时，f (x)= f (x)=2x1,若x4，2 ， 4+ x0，2，f (2+x)= f (2x)， f (x)= f (4x)，f(x)= f (x)= f4（x）= f (4+x)=2（x+4）1=2x+7; 综上，（一） 练习题一、选择题题号123456789101112答案ADBBAADBDBDD7提示：即当时，当,11. 提示： 二、填空题13； 143 ； 15 160三、解答题17在R上任取x1、x2，设x1x2，f (x2)= f (x1)， f (x)是R上的增函数，且f (10)=1，当x10时0 f (x)10时f (x)1;若x1x25，则0f (x1)f (x2)1, 0 f (x1)f (x2)1,0, F (x2)x15，则f (x2)f (x1)1 , f (x1)f (x2)1, 0, F(x2) F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数.18对f (x)求导得：，（1）函数f (x)的单调递减区间是（0，4），不等式f (x)0的解集为x|0x4, 得kx2+2(k1)x0，x=0或4是方程kx2+2(k1)x=0的两根，将x=4代入得k=，由二次不等式性质知所求k值为.（2）命题等价于kx2+2(k1)x0对x（0，4）恒成立，设g (x)=kx+2(k1), g (x)为单调函数，（或分离变量）恒成立，记.19(1)证明：略.(2)解：f (x)=2(x2)25(1x4);(3)解：f (x)=第 1 页 共 8 页