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2010-2011年一. 填空题 (共4小题,每小题4分,共计16分) 12设,则=3设函数以为周期,为的的傅里叶级数的和函数,则 .4设曲线为圆周,则曲线积分=二.选择题(共4小题,每小题4分,共计16分)1. 设直线为平面为,则 ( ) . (A) 平行于平面 (B) 在平面上 (C) 垂直于平面 (D) 与相交,但不垂直 2设有空间区域,则等于 ( ).(A) (B) (C) (D) 3下列级数中,收敛的级数是(). (A) (B) (C) (D) 4. 设是正项级数,则下列结论中错误的是( )(A) 若收敛,则也收敛 (B)若收敛,则也收敛(C)若收敛,则部分和有界 (D)若收敛,则三计算题(共8小题,每小题8分,共计64分)1设函数具有二阶连续偏导数,求.2求函数在曲线上点(1,2)处,沿着曲线在该点偏向轴正向的切线方向的方向导数.解:3计算其中.4.设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点处的密度与该点到平面的距离成正比(比例系数为),试求立体的质量.6. 计算第二类曲面积分,其中为球面的外侧7求幂级数的和函数。四证明题(本题4分)证明下列不等式成立:,其中.五证明题(本题8分)设有一小山,取它的底面所在平面为坐标面,其底部所占的区域为小山的高度函数为(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式。(2)现欲利用此小山举行攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说,要在的边界线上找使(1)中的达到最大值的点,试确定攀登起点的位置。2009-2010年一、 填空题(每小题5分,满分30分)1. 若向量两两互相垂直,且,则 .2设函数,求 .3. 设函数为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序: .4. 计算 .5. 幂级数的收敛域为: .6. 设函数的傅里叶级数为:,则其系数 .二、 选择题(每小题5分,满分20分)1直线与平面的位置关系是( )(A) 直线在平面内; (B) 垂直; (C) 平行; (D) 相交但不垂直.2.设函数, 则( )(A) 在原点有极小值; (B) 在原点有极大值;(C) 在点有极大值; (D) 无极值.3. 设是一条无重点、分段光滑,且把原点围在内部的平面闭曲线,的方向为逆时针方向,则( )(A) 0; (B) ; (C) ; (D) .4. 设为常数,则级数( )(A) 绝对收敛; (B) 发散;(C) 条件收敛; (D) 敛散性与值有关.本页满分14分本页得分三、计算题 (本大题满分42分)1. 设 讨论在原点处是否连续,并求出两个偏导数和. (7分)2. 计算其中是由上半球面和锥面所围成的立体 . (7分)本页满分14分本页得分3. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.(7分)4. 计算曲面积分 ,其中 是由 围在第一卦限的立体的外侧表面 . (7分)本页满分14分本页得分5.讨论级数的敛散性. (6分)6. 把级数的和函数展成的幂级数.(8分)本页满分8分本页得分四、 (本题满分8分)设曲线L是逆时针方向圆周,是连续的正函数,证明:本页满分8分本页得分五、 设曲线L是逆时针方向圆周,是连续的正函数,证明:(8分)2008-2009年一选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内).1. 设三向量满足关系式,则(). (A)必有。 (B)必有。(C)当时,必有。 (D)必有为常数).2. 直线与平面的关系是().(A)平行,但直线不在平面上。 (B)直线在平面上;(C)垂直相交。 (D)相交但不垂直.3. 二元函数在点(0,0)处()(A) 不连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在(C) 连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在4. 已知为某二元函数的全微分,则().(A)。 (B)。 (C)。 (D).5. 设是连续函数,平面区域,则(). (A)。 (B)。(C)。 (D).6. 设为常数,则级数().(A)发散 。 (B)绝对收敛。 (C)条件收敛。 (D)收敛性与的值有关.二填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分).1. 设函数,向量,点,则_.2. 若函数在点处取得极值,则常数_.3. 为圆的一周,则_.4. 设,级数的收敛半径为 _.5. 设,则_.6. 设是以为周期的周期函数,它在区间上的定义为,则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于_.三解答下列各题(本题共7小题,满分44分).1.(本小题6分)设是可微函数,求.解题过程是:2. (本小题6分)计算二重积分,其中.解题过程是:3. (本小题6分)设曲面是由方程所确定,求该曲面在点处的切平面方程及全微分.解题过程是:4. (本小题6分)计算三重积分,其中是由柱面及,所围成的空间区域.解题过程是:5. (本小题6分)求,其中为曲面,方向取下侧.解题过程是:6. (本小题7分)求幂级数的收敛域及和函数.解题过程是:7. (本小题7分)计算,为立体的边界。解题过程是:四证明题(8分).设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面内的有向分段光滑曲线,其起点为,终点为,记,(1)证明曲线积分与路径无关。(2)当时,求的值.2007-2008年1.平面与平面的夹角为 .2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为. 3.设是有界闭区域上的连续函数,则当时, .4. 区域由圆锥面及平面围成,则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧,是定义在上的连续三元函数,则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有:_.6. 将函数展开成余弦级数为_ .二、单项选择题:712小题,每小题3分,共18分。下列每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所选项前的字母填在题后的括号内.7.若有连续的二阶偏导数,且(常数),则()(A) ; (B) ; (C) ; (D) .8.设是连续的奇函数,是连续的偶函数,区域,则下列结论正确的是()(A) ; (B) ;(C) ; (D) .9.已知空间三角形三顶点,则的面积为()(A) ; (B) ; (C) ; (D) .10. 曲面积分在数值上等于( ) (A) 流速场穿过曲面指定侧的流量;(B) 密度为的曲面片的质量;(C) 向量场穿过曲面指定侧的通量;(D) 向量场沿边界所做的功. 11( )(A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)收敛性不能确定.12.级数的敛散性为 ( )(A) 当时,绝对收敛;(B)当时,条件收敛;(C) 当时,绝对收敛;(D)当时,发散.三、解答题:1320小题,共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.(本题满分6分)设确定,求全微分.14. (本题满分8分)求曲线在点(1,1,1)处的切线与法平面方程. 15.(本题满分8分)求幂级数的和函数.
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