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第一章较难的题22、一人的口袋中放有两盒火柴,每盒n只,每次从口袋中随机地取出一盒并用去一支,当他发现一盒空了,另一盒还恰有m支火柴的概率是多少? 解 样本空间可以这样考虑,每次或取甲盒或取乙盒,有2种选择,他发现一盒空了,另一盒还恰有m支火柴说明共取了次,故样本空间总数为,这其中n次取了甲盒,这种取法共有次,故所求概率为 26、甲掷骰子次,乙掷次,求甲掷出的偶数面比乙掷出的偶数面多的概率。解 若甲乙都掷m次,则两人掷出偶数面的概率是相等的,现在甲多掷一次,这一次他掷出偶数面的概率为,因此甲掷出的偶数面比乙掷出的偶数面多的概率为。47、将m根绳子的2m个头任意两两相接,求恰好结成m个圈的概率.解 设表示第i根绳子结圈,i=1,2,m, 则恰好结成m个圈的概率为 计算时考虑第一根绳子中一个绳头固定,另一个绳头有2m-1种选法,其中只有一个能结圈,所以,其余类推。48、甲、乙两人轮流掷一颗骰子,甲先掷。每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷,试求第次由甲掷的概率。解 设第次由甲掷的事件为,由题意和全概公式有 已知,用上式递推公式求解,为方便将其变形为 则 所以 50、甲、乙、丙三人进行比赛,规定每局两个人比赛,胜者与第三个人比赛,依次循环,直至一人连胜两次为止,此人即为冠军。而每次比赛双方取胜的概率都是,现假定甲、乙两个人先比赛,试求各人获得冠军的概率?解 用a表示甲胜,b表示乙胜,c表示丙胜。比赛的可能结果可用下面方法表示 在这些结果中,恰好包含k个字母的事件发生的概率是,则丙取得冠军的概率是由于甲乙两人所处的地位是对称的,所以,故 52、要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机的取三件测试(设3件乐器的测试相互独立的),如果3件中至少有一件被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接受,设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为,如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的,试问这批乐器被接收的概率是多少? 解 设这批乐器被接收的事件为B, 随机取三件测试中有k件乐器本身音色不纯的事件为,则由全概率公式有 第二章较难的题8、两名篮球队员轮流投篮,直到某人投中为止,若第一名队员投中的概率为,第二名投中的概率为,求每一名队员投篮次数的概率分布律(设由第一名队员先投)。解 设第一名和第二名队员投篮次数分别为X和Y,他们第k次投中的事件分别记为,则X的分布律为Y的分布律为 27、已知某种类型的电子元件的使用寿命(单位:小时)服从参数为0.001的指数分布,一台仪器中装有3只此类型的元件,其中任一只损坏时仪器便不能正常工作,且每只元件是否损坏是相互独立的,求仪器的使用寿命在10001500小时的概率。解 设T表示仪器的寿命,表示第i个元件的寿命,i=1,2,3 P(1000 T 1000) - P( T 1500) = 39、假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布,试求相继两次故障之间时间间隔的概率密度。 解 先求相继两次故障之间时间间隔的分布函数F(t): 所以服从参数为的指数分布,密度函数为
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