初中数学拔尖材料06 带余除法和余数分类带余除法是整除问题中最常见的问题，它的性质是处理整除的基础绝大多数整数是不能被整除的，按余数进行分类讨论，是处理整除问题的重要方法本讲主要是例讲处理方法一、带余除法的基本知识1带余除法：并不是任意一个整数都能被一个不等于0的整数整除的对任意一对整数、，总存在唯一一对、，使得，其中；当时，即称为“带余”例如：105被8除，得商13，余数12余数分类：一个整数被2除时，余数只能是0和1这两种可能，因此，可以把所有整数按照被2除的余数分成两类，一类整数是被2除余数为0，另一类整数是被2除余数是1，即任一整数都可以写成或的形式（是整数）又如，一个整数被3除时，余数只能是0，1和2这三种可能，因此，所有整数可以分成、这三类形式同样，任何一个整数除以一个非0的任意整数，都可以得一个商和余数，即，这里的只可能取0，1，2，这个值；所有整数可以按照这个余数进行分类3同余：两个整数和被除时余数相同，则称和对模同余，记作带余除法、余数分类和同余是解决整数问题的利器二、典型例题例1用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数例2一个自然数分别去除75、125、201都有余数，三个余数的和是31，求这三个余数中最小的一个余数例3在大于2005的自然数中，被56除后，商与余数相等的数共有多少个？求这些数的总和例4求证：对任何正整数和，在、这四个数中，一定有一个能被3整除例5若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个正整数相除，所得的余数相同，但不为0，求除数和余数例6个空格排成一行，第一格中放入一粒棋子，两人下棋，每步可向前放1、2或3格，两个个人交替走，以先到最后一格者为胜，问是先走者还是后走者必胜？怎样取胜？例7若干圆形纸片，每个均分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形；问从这些圆形彩色纸片中至少取出多少张，才能确保有两张纸片涂色相同？例8一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，才能使其中至少有2张牌有相同的点数？例9两条直线相交，将四个交角中较小的一个称为两条直线的“交角”如图是条直线，它们两两相交的示意图，交角只能是、，问：的最大值是多少？例10试证明：任给5个整数，必能从其中选出3个，使得它们的和能被3整除例11在已知一列数1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和能被11整除分为一组，问这样的数组共有多少？例12求证：大于11的整数都能写成两个合数之和例13设，其中均为整数，求证：例14若为质数，求证：例15一个正方体，每条棱上可以标记上1个1到12的自然数，要求每条棱上的自然数都不同在每个顶点处，相邻有3个自然数，这3个自然数可以依大到小排列出一个新的自然数例如：下图点处，排列出的自然数是1272问：能否有一种标记的方式，使得到的8个自然数都能被3整除例16求的个位和十位数字例17可否把右图中的圆圈涂红色或蓝色使得在同一条线段上的红色圆圈个数都是奇数？若可以，请给出一种涂法若不可以，请说明理由例18在12014的所有的整数中，有多少个使和被7除有相同的余数？综合练习1一数被10除，余9；被9除，余8；被8除，余7；被2除，余1；此数为_2除以13，余数是_3若三个整数1059、1417和2312，每个数各除以，且余数都是，其中是大于1的整数，则等于_4若为任意整数，则除以9的余数可能是_570个数排成一排，除了两头的两个数之外，每个数的3倍都恰好等于它前后两个数的和；这排数最左边的几个数是0，1，3，8，21，；则最右边一个数被6除余数是_6设，用除，所得的余数是_7求使，都是质数的所有的的值8求证：若，则或9若和都是质数，求证：也是质数10下图是一个3行10列的长方形，每个小方格均涂有黑色或白色，问能否找到两列，它们的涂色方式完全相同，请说明理由