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二次函数的定义、图象、解析式【知识梳理】1二次函数的定义是 。2二次函数的解析式一般式: 交点式: 顶点式: 3二次函数的图象是 线。4抛物线y=ax2+bx+c(a0)的位置由a,b,c决定: 的符号决定抛物线的开口方向 的符号决定抛物线与y轴交点的位置 的符号决定抛物线与x轴交点的位置a、b 号,对称轴在y轴的左侧【基础训练】1当m= 时,函数y=+3x是二次函数2抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点,则a= , b= , c= 3抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2的形状相同,开口方向相同,顶点坐标是(2,-3),则a= , b= , c= y4抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则a 0, o x b 0, c 0,b2-4ac 0 5直线y=ax+b和抛物线y=ax2+bx+c的图象大致位置是: y y o x o x A B y yo x o x C D6把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为 。【典型例析】例1已知某二次函数当x=1时,有最大值6,且其图象经过点(2,-8),求此二次函数的解析式。例2以x为自变量的函数y=-x2+(2m+1)x-(m2+4m-3)中,m为不小于零的整数,它的图象与x轴交于点A和B,点A在原点左边,点B在原点右边。(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 次函数y=kx+b的图象经过点A,与个二次函数的图象交于点C,且SABC=10,求这个一次函数的解析式。【发展探究】已知:如图,直线y=(k0)与x轴、y轴分别交于A、B两点,点P是线段AB的中点,抛物线y=+bx+c经过点A,P,O(原点)求经过A、P、O(原点)的抛物线解析式在x轴上方,中所得的抛物线上,是否存在一点Q,使QAO45,如果存在,求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由。【优化评价】 1函数y=(x+3)2-2的图象可由函数y=x2的图象向 平移3个单位,再向 平移2个单位得到。2如图表示二次函数y=ax2+bx+c的图象,则有( ) yA a+b+c0 O xD a+b+c的符号不能确定3在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是( )y yo x o xA By y o x o xC D4如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B,与y轴交于C,如果OBOCOA,那么b的值为( ) yA. -2 B. -1 C. - D. A o B x5已知,如图,在直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上,点C在x轴的正半轴上,AC5,AB,cosACB=,求经过A、B、C的抛物线的解析式,并把它化成顶点式。 y B C x6抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2),顶点在直线y=3x-3上,a0,求此二次函数的解析式。7已知实数ac,抛物线y=ax2(a+c)x+c不经过第二象限,判断这条抛物线的顶点A(x0,y0)所在象限,并说明理由;若经过这条抛物线顶点A(x0,y0)的直线y=x+k与抛物线的另一个交点为B(),求抛物线的解析式。8已知:如图,抛物线y=x2(a+b)x+,其中a,b,c分别是ABC的A,B,C的对边。 求证:该抛物线与x轴必有两个交点 设有直线y=ax-b与抛物线交于E、F,与y轴交于M,抛物线与y轴交于N,若抛物线的对称轴为x=a,MNE与 MNF的面积之比为5:1,求证:ABC是等边三角形.在的条件下,SABC时,设抛物线与x轴交于点P、Q,问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆?若存在这样圆,求出圆心的坐标,若不存在,请说明理由。 y N E P Q x O F M
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