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2012年上海市兰生复旦中学理科班教程:整除4一、解答题(共13小题)1设p,q,r都是质数,并且p+qr,pq求p2将37拆成若干个不相同质数之和,有多少种不相同的拆法?将每一种拆法中拆出的哪些质数相乘,所得的最小乘积是多少?3正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数,并且相对两个面上所写的两数之和都相等若18对面所写的质数为a,14对面所写的质数为b,35对面所写的质数为c,求a+b+c4有1997个奇数,它们的和等于它们的乘积其中有三个数不是1,而是三个不相同的质数那么,这样的三个质数是、5有4个学生,年龄恰好是一个比一个大,而他们年龄乘积是5040,问他们的年龄分别是多少?6小麦家的电话是七位数,它恰好是几个连续质数的乘积,这个积的末四位是前三位的10倍请问小麦家的电话号码是多少?7有一个自然数,它有8个约数,这个数最小是多少?48已知1176ab,a,b为正整数,求a的最小值9设a,b,c,d是正整数,且2222证明:a+b+c+d是合数a+bc+d10已知a,b,c是质数,满足babc+a2000,求a,b,c11求出p,p+10,p+14都是质数的所有p12设p3,且p与p+2n都是质数求证:p+2n+1为合数,n为正整数13(1)设p是质数,p3求证:24|p21(2)设c不能够被质数的平方整除,且22a|bc,求证:a|b第1页(共8页)2012年上海市兰生复旦中学理科班教程:整除4参照答案与试题解析一、解答题(共13小题)1设p,q,r都是质数,并且p+qr,pq求p【解析】先依照已知条件判断出r是奇数,再依照p+qr可判断出p,q为一奇一偶,依照在所有偶数中只有2是质数可求出答案【解答】解:rp+q, r不是最小的质数,进而r是奇数, p,q为一奇一偶, pq, p既是质数又是偶数, p2故答案为:2【谈论】此题观察的是质数与合数、奇数与偶数的定义,解答此类题目时要注意在所有偶数中只有2是质数这一特点2将37拆成若干个不相同质数之和,有多少种不相同的拆法?将每一种拆法中拆出的哪些质数相乘,所得的最小乘积是多少?【解析】列举将37拆成若干个不相同的质数之和的式子,要点要掌握好不重不漏,为此要选择一种序次我们第一将小于37的质数,由小到大排列出来:(共11个)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,利用2+3+5+7+1137,而2+3+5+7+11+1337因此最多拆成5个不相同质数之和但由于37是奇数,拆掉的5个不相同质数中不能够有偶质数2,即可得出最多拆成4个不相同质数之和,为此,依照被拆出的最大质数从大到小依次研究,进而得出答案即可【解答】解:第一将小于37的质数,由小到大排列出来:(共11个)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,由于2+3+5+7+1137,而2+3+5+7+11+1337因此最多拆成5个不相同质数之和但由于37是奇数,拆掉的5个不相同质数中不能够有偶质数2,否则其他4个奇质数之和为偶数,这5个质数和为偶数,不能能等于奇数37,而3+5+7+11+133937因此最多拆成4个不相同质数之和,为此,我们依照被拆出的最大质数从大到小依次研究:第2页(共8页)( 1)3731+6(6不能够用2,3,5相加获取);( 2)3729+829+5+3,只有一种拆法;( 3)3723+14共有两种拆法, 3723+11+3;3723+7+5+2;( 4)3719+18,而1813+513+3+211+711+5+2,因此共有四种拆法, 3719+13+5;3719+13+3+2;3719+11+7;3719+11+5+2;(5)3717+20,而2013+713+5+211+7+2,因此有三种拆法, 3717+13+7;3717+13+5+2;3717+11+7+2综合以上能够获取10种不相同的拆法,将37拆成若干个不相同的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能小,则能够把37分成:3729+5+3,它们的积为其中最小乘积的是:2953435【谈论】此题主要观察了质数的性质以及数的整除性,依照题干解析数字特点,进而找出各种数字组合,尔后找出最适合的一种是解题要点3正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数,并且相对两个面上所写的两数之和都相等若18对面所写的质数为a,14对面所写的质数为b,35对面所写的质数为c,求a+b+c【解析】依照相对的两个面的数字和相等,得18+a14+b35+c,则,依照a,b,c都是质数,可得c2,解方程组求得a,b,c,再代入进行求解【解答】解:依题意有18+a14+b35+c,则,a,b,c都是质数, c2,则 a19,c23,则 a+b+c19+23+244【谈论】此题观察了质数与合数,正方体相对两个面上的文字,解答此题的要点是获取ba,bc,ac的值后求得c2是解题的要点4有1997个奇数,它们的和等于它们的乘积其中有三个数不是1,而是三个不相同的质数那么,这样的三个质数是5、7、59第3页(共8页)【解析】1997个奇数,其中只有三个不相同的质数并且不是1,那说明其他1994个数都是1,其中的三个我们能够设为a,b,c依照他们的和等于积的条件,能够得出等式:1994+a+b+cabc(注意:1994个1相乘是1994),尔后据此分别谈论即可【解答】解:据题意可知:1994+a+b+cabc;由于11131724311997,因此这3个质数中的最小数必然小于11当 a3,b5时,15cc+2002,c143,不是质数;当a3,b7时,21cc+2004,c不是整数;当 a5,b7时,35cc+2006,c59,满足条件;故答案为:5、7、59【谈论】此题观察了质数与合数,完成此题要据已知条件列出等式,尔后试着算下5有4个学生,年龄恰好是一个比一个大,而他们年龄乘积是5040,问他们的年龄分别是多少?【解析】依照题意,有4个学生,年龄恰好是一个比一个大,也就是它们的年龄是4个连续的自然数,又知道他们年龄乘积是5040,依照合数分解质因数的方法,把5040分解质因数,再把这些质因数适合调整凑成4个连续的自然数即可【解答】解:把5040分解质因数:504022223357;其中2228,339,2510;答:它们的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁【谈论】观察了质因数分解,此题的解答第一明确自然数的排列规律,相邻的自然数相差1,再依照合数分解质因数的方法解决问题6小麦家的电话是七位数,它恰好是几个连续质数的乘积,这个积的末四位是前三位的10倍请问小麦家的电话号码是多少?【解析】先由所求七位数的尾端四位数是前三位数的10倍,得出它的个位数字是0,能够被2整除,再由这个七位数是几个连续质数的乘积,且2是最小的质数,并且是唯一的偶质数,得出这个七位数是从2开始的连续质数的乘积,尔后用计算器进行研究,发现乘到19时就获取需要的结果【解答】解:所求七位数的尾端四位数是前三位数的10倍,这个七位数的个位数字是0,第4页(共8页)这个七位数是偶数,能够被2整除,又这个七位数是几个连续质数的乘积,且2是最小的质数,并且是唯一的偶质数,这个七位数是从2开始的连续质数的乘积,这几个质数是2357111317199699690故小麦家的电话号码是9699690【谈论】此题观察了数的整除性问题,属于竞赛题型,难度较大,能够依照条件得出所求数是从2开始的连续质数的乘积,是解题的要点7有一个自然数,它有8个约数,这个数最小是多少?【解析】第一是1和最小的两个质数2,3,接下来422,623,因此123212有5个约数,进而得出24有8个约数【解答】解:第一是1和最小的两个质数2,3,接下来422,623,因此123212有5个约数, 8222,12223,242223,12224有8个约数答:这个数最小是24【谈论】此题主要观察了约数与倍数,解答此题应依照这8个不相同的约数的最小值进行解答4,a,b为正整数,求a的最小值8已知1176ab【解析】先将1176分解质因数,再将其凑成4次方,即可获取a的最小值【解答】解:由于117623372,凑成4次方,则 a最小是233722646故a的最小值是2646【谈论】此题观察了分解质因数,将几个质因数凑成4次方,注意掌握其中的技巧9设a,b,c,d是正整数,且2222证明:a+b+c+d是合数a+bc+d【解析】依照a与a2的奇偶性相同即可作出判断2222【解答】证明:a+b与a+b同奇偶,c+d与c+d同奇偶,2222又a+bc+d,2222a+b和c+d同奇偶a+b与c+d同奇偶,因此a+b+c+d是偶数,且a+b+c+d4,a+b+c+d必然是合数第5页(共8页)【谈论】此题主要观察了整数的奇偶性,a与a2的奇偶性相同,注意:偶数未必都是合数,因此a+b+c+d4在此题中是不能够缺少的b10已知a,b,c是质数,满足abc+a2000,求a,b,c【解析】先经过变形获取a(bbc+1)2000,2000只能被质数2或5整除,尔后谈论:bb当a2时,bc+11000;当a
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