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数论数论素有“数学皇后”的美称。由于其形式简单,意义明确,所用知识不多而又富于技巧性,千姿百态,灵活多样。有人曾说:“用以发现数学天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。”因此在理念的国内外数学竞赛中,几乎都离不开数论问题,使之成为竞赛数学的一大重要内容。1. 基本内容竞赛数学中的数论问题主要有:(1) 整除性问题;(2) 数性的判断(如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等);(3) 余数问题;(4) 整数的分解与分拆;(5) 不定方程问题;(6) 与高斯函数有关的问题。有关的基本知识:关于奇数和偶数有如下性质:奇数+奇数=偶数;奇数+偶数=奇数;偶数+偶数=偶数.两个数之和是奇(偶)数,则这两个数的奇偶性相反(同).若干个整数之和为奇数,则这些数中必有奇数,且奇数的个数为奇数个;若干个整数之和为偶数,则这些数中若有奇数,奇数的个数必为偶数个.奇数奇数=奇数;奇数偶数=偶数;偶数偶数=偶数.若干个整数之积为奇数,则这些数必为奇数;若干个整数之积为偶数,则这些数中至少有一个偶数.若是整数,则与有相同的奇偶性;若、是整数,则与奇偶性相同。 关于整数的整除性:设是整数,则;若,则;若,则对任意整数,有.若在等式中,除某一项外,其余各项都能被整除,则这一项也能被整除.若,且,则.若,且,则.设是素数,若,则或. 关于同余:若,则.分别被除,余数相同.同余具有反身性:、对称性:若,则、传递性:若,则.2. 方法评析数论问题综合性强,以极少的知识就可生出无穷的变化。因此数论问题的方法多样,技巧性高,富于创造性和灵活性。在竞赛数学中,解决数论问题的常用方法有因式分解法、估值法、调整法、构造法、反证法、奇偶分析法等等。2.1 因式(数)分解例1 证明无穷数列10001,100010001,中没有素数。证明:设,则当为偶数,设,所以为合数。当为奇数,设,所以为合数。评析:对分奇偶,分情况讨论,问题变得清晰易证。同时注意,若为奇数时,可分解因式。例2 证明对任意整数,不是素数。证明:当为偶数时,为偶数,所以为合数;当为奇数,设,则 所以为合数。评析:对适时地进行奇偶性讨论,不失为一种证明思路。同时应注意,可作因式分解。例3 设正整数满足。证明:不是素数。证明:由于,则设,其中,则故所以为合数。评析:此题中采用方法可扩展如下:若,不妨设,则,且由于 ,所以,即所以,故。同理可证,所以同理可得例4 证明:若正整数满足,则和都是完全平方数。证明: 因,即故只需证和互质。设,即证则由于,所以,又,则。所以,故得证。故和互质,所以和都是完全平方数。评析:有时,适当的因式分解可以使问题简化,以证得结论。例5 一个正整数,加上100为一个完全平方数,若加上168则为另一个完全平方数,求这个数。解:设这个数为,则 其中(注:限定正的可减少讨论)。故,从而与则等于把拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。又由于,且与同奇偶性,故所以。则。评析:此题利用平方差公式,再考虑因数分解,便于讨论以确定某些式子的值,最终求得解。 例6 求方程的全部整数解。 解:对原方程进行变形、因式分解左边四个括号内奇偶性相同,而为偶数,故括号内每个都为偶数,则应出现,矛盾。所以原方程无整数解。评析:将所有字母项放在一起,进行因式分解,再与另一侧数字项对比讨论,推出矛盾。 例7 证明:两连续正整数之积不能是完全平方数,也不能是完全立方数。证明:若有两连续正整数之积为完全平方数,设(),则,则与均为完全平方数。故存在正整数使得,从而这与矛盾。所以两连续正整数不能是完全平方数。若有两连续正整数之积为完全立方数,设(),则,则与均为完全立方数。故存在正整数使得,从而这与矛盾。所以两连续正整数不能是完全平方数。评析:此题运用因式分解和反证法,分析论证推出矛盾。 2.2 估值法例8 证明方程没有的整数解。 证明:对原方程进行变形、因式分解设,若,设为的素因数,则又,故,从而,所以,这与为素因素矛盾。与均为完全立方数。设,则由得,又,则当时,则这与矛盾。故没有非零整数解。当时,则这与矛盾。故没有非零整数解。评析:因式分解与互素性质相结合,分情况讨论,推出矛盾,题目得证。例9 在两个相邻的完全平方数与之间任取若干个不同的整数,证明它们中两两乘积互不相同。证明:只需证明若则若,则设(见例3),则,即,矛盾故在两个相邻的完全平方数与之间任取若干个不同的整数,它们中两两乘积互不相同。评析:与例三的思想方法大同小异,因为它们都利用的结论。例10 求不定方程的全部正整数解。解:当时,无解; 当时,有; 当是,为偶数,必为奇数。当时,当时,当时,故,则而所以,则,故,与矛盾,则无解。综上,不定方程的正整数解为(2,1)、(3,1)、(5,2)。评析:通过分析估计归纳,对分类讨论,一一得出结果。2.3 调整法下一次课
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