棱柱的体积教材 上海教育出版社高中二年级第二学期（试验本）授课教师 上海市延安中学 吴瑾辉教学目标（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱的体积公式，并会利用棱柱的体积公式解决实际问题；（4）通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.教学重点祖暅原理和棱柱体积公式的推导.教学难点祖暅原理的含义.教学过程一、实际问题引入，说明研究棱柱体积的必要性：引例：青藏铁路是西部大开发标志性工程，计划投资约262亿元，铁路全长1142公里，是世界上海拔最高，线路最长，穿越冻土里程最长的高原铁路针对不同情况的多年冻土，有不同的解决办法与技术比如埋设热棒或通风管，就是在路堤中埋设直径30厘米左右的金属或混凝土横向通风管，可以有效降低路基温度；也可以采用抛石路基，即用碎块石填筑路基，利用填石路基的通风透气性，隔阻热空气下移，同时吸入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极不稳定冻土地段修建低架旱桥，工程效果有保证，但造价高假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？说明：在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积因此有必要研究几何体的体积计算上例就是一个直四棱柱的体积计算问题提出问题：棱柱的体积如何计算？二、探究棱柱体积公式1从已知到未知，从特殊到一般：首先想到已经学过的正方体、长方体的体积公式，然后探究一般棱柱的体积公式（1）（棱长）；（2）长方体（长，宽，高，底面积）2进一步考虑正方体、长方体的体积公式的来龙去脉：（1）请学生谈谈对体积的理解，并小结：几何体占空间部分的大小叫做它的体积（2） 提问：体积是如何度量的？(类比长度的度量和面积的度量)学生讨论后小结：1）我们在度量长度时，有一个标准，比如说，1米，1厘米等；将一段线段用1厘米来截，看这个线段是1厘米的多少个倍数，就是这个线段有多少厘米5倍就是5厘米，1.5倍就是1.5厘米2）在度量面积时，也有一个标准，比如说1平方米即边长为1米的正方形作为1个单位面积，去度量平面图形的面积因此，我们容易得到正方形的面积等于棱长的平方，长方形的面积等于底乘以高因为任意多边形都可以分割成若干个三角形，三角形可以补成平行四边形，平行四边形可以割补成长方形，所以任意平面多边形的面积都可以度量（直边形）3）在体积中，我们也要先选定一个单位，用来度量体积，然后求出几何体是单位体积的多少倍，多少个倍数就是几何体的体积数值通常把棱长等于单位长度的正方体所占空间的大小作为一个体积单位只要直接把单位正方体尽可能地堆在所量的几何体内，来确定所量几何体的体积的量数因此我们容易得到正方体和长方体的体积公式，但是不容易得到一般棱柱的体积公式（可以先把一般棱柱分割成三棱柱，三棱柱补成平行六面体，平行六面体割补成长方体）4）如何找到长方体的体积和一般棱柱的体积之间的关系？3从平面到空间的类比猜想：（利用几何画板的动态演示）（1）等底等高的长方形和平行四边形的面积有何关系？（2）等底等高的三角形的面积有何关系？（3）等底等高的梯形的面积有何关系？结论：根据面积公式我们可以得到面积均相等初中我们学过的面积公式的推导是因为任意平面多边形（直边形）都可以用割补的方法转化为长方形的面积得到在利用几何画板动态演示的过程中，我们发现，用平行于底边的任意直线截两个平面图形得到的截线长度总相等启发思考：这是否可以成为两个平面图形面积相等的条件呢？继续探究：线是由无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的因此我们可以得到：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么，这两个平面图形的面积相等猜想：类比到两个空间图形体积相等的条件有什么相似的结论呢？用平行于底面的任意平面截两个空间图形得到的截面面积总相等，则这两个空间图形的体积相等 4祖暅原理的引入利用“小试验”验证以上猜想：（1）取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状启发思考：1) 推斜以后体积变化了吗？（几何体所占空间的大小不变）2) 推斜前后的两个几何体（前为长方体，后为平行六面体）还有什么共同之处？（高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改变）3) 这种共同之处是不是就是两个几何体体积相等的条件呢？（2）用一摞不同的书，推移成各种形状，继续探讨结论是否正确（不一定是棱柱）（3）由学生总结归纳出祖暅原理的大致内容5祖暅原理：“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”（1）内容解释：这里的“幂”是指水平截面的面积，“势”是指高即体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等还可表达为：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（我国古代数学家祖暅在实践的基础上，明确肯定了这一点）（2）由“面积都相等”推出“体积相等”，体会辩证法的思想（3）祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学的相关知识，中学阶段不能证明它只能判定两个几何体是否等积，不能用它具体求出某几何体的体积要想完成求体积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为基础（4）几何画板动态演示任意一个平面截两个几何体所得截面的各种位置6 利用祖暅原理推导棱柱体积公式：（1）利用祖暅原理推导棱柱体积，需要构造一个几何体，此几何体必须符合两个条件：它的计算公式是已知的；它符合祖暅原理的条件，即该几何体与棱柱能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等（2）方法：如果一个棱柱与一个长方体的高相同（都为）且底面面积相等（都为），那么当我们用一个与底面平行的平面去截它们时，可以证明截面的面积都等于各自底面的面积，根据祖暅原理可知，棱柱的体积与长方体的体积相等，即，其中表示棱柱的体积，表示棱柱底面的面积，表示棱柱的高7 介绍祖冲之父子及我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究：中国古代数学，在魏晋南北朝达到新的高峰这一时期的代表人物是刘徽（公元263年左右）、祖冲之（429500）和他的儿子祖暅刘徽为九章算术作注，祖冲之父子在此基础上撰写了缀术等著作祖冲之精确地计算圆周率，提出约率和密率，是世界数学史上的重大成就他们三人还先后研究并最终给出了球的体积公式在这过程中，他们利用了“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”的原理，唐朝的李淳风在为九章算术作注时称求球体体积公式的方法是“祖暅之开立园术”，祖暅之即祖暅，因此我国称之为祖暅原理意大利数学家卡瓦列里1635年提出了相同的原理，西方称之为卡瓦列里原理，为微积分学创立作了准备8祖暅原理的简单应用：（1） 底面积和高都相等的圆柱和长方体的体积相等吗？（2） 底面积和高都相等的斜六棱柱和三棱锥的体积相等吗？三、巩固与应用1引例的解答：这是一个底面是梯形的直四棱柱的体积问题2例2已知三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为和，侧棱的长为，求满足下列条件的三棱柱的体积：（1） 侧棱垂直于底面；（2） 侧棱与底面所成的角为解：（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长，而底面三角形的面积，于是三棱柱的体积（2）如图所示，过作平面的垂线，垂足为，于是为三棱柱的高因为侧棱与底面所成的角为，所以,可计算得又由（1）可知底面三角形的面积，故三棱柱的体积3 例3一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土？（钢筋体积略去不计，精确到立方米）解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱（平方米），（立方米）答：略说明：在实际问题中，可能需要将几何体割、补成棱柱，然后计算其体积，本题意在提高学生这方面的能力四、课堂小结：1学生小结：2老师小结：（1）本节课的主要内容有两个：一是棱柱体积公式的推导所采用的方法是利用祖暅原理，根据长方体的体积公式推导出棱柱的体积公式应用祖暅原理可以根据已知几何体的体积求未知几何体的体积，这是一种求体积的办法，但要注意是否满足祖暅原理的条件二是应用棱柱体积公式解决实际问题在具体问题中要结合直观图，认真分析棱柱的底面积和高从而得到体积（2）本节课的数学思想方法主要体现在：由特殊棱柱长方体的体积推导一般棱柱的体积，再根据一般棱柱的体积公式去解决具体问题中的特殊棱柱的体积，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法常常是学习数学概念的方法从两个平面图形面积相等的条件类比猜想到两个空间图形体积相等的条件，然后在实践中理解论证，这种归纳、猜想、论证的数学思想方法经常用在发现数学原理和规律的过程中在祖暅原理的理解中，体会由“截线都相等”推出“面积相等”，由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想，实际上就是微积分的思想（3）若用割补的办法把一般棱柱转化为长方体也是可以的，但是由于课堂时间有限，留给同学们课后研究教学设计说明体积的计算在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识本节课用一个需要利用棱柱体积公式才能解决的实际问题引入，说明研究棱柱体积公式的必要性这个实例是学生熟知的青藏铁路的冻土解决方案，具有很强的现实意义，本节课的重点是棱柱体积公式的推导首先启发学生思考体积是如何度量的从长度的度量、面积的度量都是必须先找一个度量单位，类比得出体积的度量也是必须先找一个度量单位即单位正方体所占空间的大小然后得到正方体和长方体的体积公式，但是一般棱柱体积的公式不容易得到通过几何画板的动态演示，把平面上等底等高的平行四边形面积相等、等底等高的三角形面积相等的本质揭示出来，即若用平行于底边的任意直线截两个平面图形得到的截线长度总相等，则两个平面图形面积相等然后由学生从平面到空间类比猜想得出祖暅原理的基本内容，并且利用实物道具的“小试验”验证猜想首先讨论推斜前后的两叠裁切相同的纸的体积是否相等，主要把握整叠纸张的大小、顺序和厚度不变三个共同特点在祖暅原理内容的理解中，使学生体会从“面积都相等”得到“体积相等”的辩证法的思想然后，把“小试验”中的裁切相同的纸换成一摞不同的书，让学生继续讨论这摞书经过推斜后是否体积相等，从棱柱到非棱柱，进一步理解祖暅原理的含义因为祖暅原理的发现是从实践中得来的，因此设置一些从简单到复杂，从特殊到一般的“小试验”，让学生观察试验、发现规律、总结规律通过设置试验和启发引导，呈现原理的发现过程用几何画板动态演示“任意一个平面截两个几何体所得截面的各种位置”，帮助学生理解祖暅原理中的“任意”和“总相等”，有效地突破教学难点最后说明祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学的相关知识，中学阶段不能证明它只能判定两个几何体是否体积相等，不能用它具体求出某几何体的体积要想完成求体积的任务，