19.2.3一次函数与一元一次方程教学设计 兴国五中-邱海清一、 教学内容及其分析（一）内容: 学习一次函数与一元一次方程的关系，根据它们的关系解决实际问题。（二）分析: 一次函数与一元一次方程是人教版八年级数学第十九章第3节第一课时的教学内容。本章是在学生已有对一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不待式等的认识后,从变化和对应的角度,对一次运算进行更深入的讨论.本节的内容为:学习了一次函数后,回过头重新认识已经学过的一些其它数学概念,即通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.而本节课是用函数的观点重新看一元一次方程,这种再认识不是简单的复习回顾,而是站在更高的起点上的动态分析.通过本节的教学,不仅可以加深对方程的理解,而且可以加深对已经学过的相关内容之间联系的认识,加强知识间横向和纵向的联系,发挥函数对相关内容的统领作用,使新旧知识融会贯通从而进一步体现函数概念的重要性,加大分析问题的深度.解方程及画函数的图象在之前都已经学习过,因此解方程及画函数的图象不是本节课的教学重点.本节课的教学重点应放在一次函数与一元一次方程的关系的理解上;难点则是利用一次函数图象确定一元一次方程的解.二、教学目标及其分析（一）教学目标1. 理解一次函数与一元一次方程的关系；2. 会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题；（二）分析1. 解一元一次方程学生已经学过,因此对学生来说,这并不是教学的重点,更不是难点.本节课主要是在学生已有的知识上发现一次函数与一元一次方程之间的关系,并用这种关系直接说出一元一次方程的解,即如何用函数的观点看一元一次方程.因此,在具体的教学过程中,应当侧重帮助学生形成观点,忽略画图象等已会环节,并通过较多的补充例题及课后练习,帮助学生抓住重点,理解函数与方程之间关系的本质所在.2. 在学生理解了一次函数与一元一次方程的关系后,根据此关系解一元一次方程又是本节课的另一个教学重点,同时也是本节课的教学难点,在具体的教学中,应多举例,多练习.3.本节课是以新带故的内容,其中多数内容学生并不生疏,所以这部分内容很适合探究式学习方式,在教学中应多注意加强学生学习的主动性,注意鼓励学生积极探究,教学中设计必要的铺垫,以便更好地启发诱导,让学生能在经过自己的分析来体验知识间的内在联系.三、教学问题诊断分析学生已经分别学过一次函数和一元一次方程，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系，不知道一元一次方程与函数模型的联系。用函数观点理解一元一次方程，实际上是已知一次函数图象点的纵坐标求与其对应的横坐标。把一次函数图象上的点的坐标与一元一次方程的解建立联系，这是学习的难点。四、信息技术使用条件为了能够使本节课获得更好的教学效果,本节课可以采用多媒体辅助教学,帮助学生直观形象的发现一次函数与一元一次方程之间的关系,并能轻松理解它们之间的这种关系.五、 教学过程设计（1） 创设情境，引入新课兴国百丈泉公司应市场需求在工业园再投资4百万建成一条生产线，投产后，不考虑材料费等因素，每年创收2百万。问题：（1）:该生产线投产几年刚好收回成本？（2）:该生产线投产第几年盈利2百万？（3）:该生产线投产第几年盈利4百万？师问：从小学到现在我们学过几中解决此类问题的方法？（学生读题，积极解答）生:方法（一）小学的计算法略方法（二）方程思想解：设该生产线投产x年，可列方程(1)2X-4=0 解得：X=2(2)2x-4=2 解得：X=3(3)2x-4=4 解得：X=4 师： 有一位同学巧妙的利用函数图象来解决这个问题，如何建立函数关系式又怎样利用函数关系式来解决这个问题呢？今天我们一起探究 一次函数与一元一次方程。设计意图：回忆一元一次方程的应用，点出课题。问题情境中实际问题与一次函数的模型互有关系，使学生产生亲切感与解答的欲望。问题一：已知一次函数y=2x-4,求函数值y=0、y=2、y=4时自变量值。 y=2x-4中y=0求x的值用函数的观点看教师引导学生分别用函数观点看一元一次方程，用方程观点看一次函数，发现其联系。用方程的观点看2x-4=0设计意图：通过式子之间的转换，让学生体会只要把未知数和变量的角色互换，则一元一次方程和一次函数也实现了互相转化。结论：由上可知，当一个一次函数y=kx+b确定了y的值，它就变成了一个一元一次方程。也就是说，每一个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具体情况。探究一：讨论下面两问题之间的关系：(1)解方程2x-4=0(2)当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值为0？学生小组合作从以下三个方面进行讨论。 分析：可以从以下三个方面进行思考1、 对于2x-4=0和y=2x-4,从形式上看，有什么不同。2、 从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？3、 若作出函数y=2x-4的图像，（1）和（2）有什么关系？1、得出结论（1）对于2x-4=0和y=2x-4,从形式上看，有什么不同？2x-4=0y=2x-4从形式上一元一次方程一次函数2、从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？从数上看2x-4=0y=2x-4本质上:（从“数”的角度）解方程：2x-4=0得x=2当函数值为0时，所对应的自变量x的值。也就是，当y=0,得2x-4=0,解得x=2序号一元一次方程问题一次函数问题1解方程2x-4=0当x为何值时y=2x-4的函数值为0.2 解方程2x-4=23当x为何值时y=2x-4的函数值为4.4解方程kx+b=0巩固练习: 从形上看若作出函数y=2x-4的图像，（1）和（2）有什么关系？从“形”的角度看：直线y=2x-4的 图象与x轴的交点坐标为_，这就说明方程2x-4=0的解是_。规律总结一次函数的问题图象1当x为何值时，y=2x-4的函数值为022当x为何值时，y=kx+b的函数值为0设计意图：以具体问题作说明，让学生在探究过程中理解问题的同一性数形结合，帮助学生理解一次方程与一次函数可以统一起来，培养学生的归纳能力与语言表达能力。练习1：根据函数y=2x+20的图象，说出它与x轴的交点坐标；说出方程2x+200的解.活动设计意图: 通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解.练习二：根据图象,请写出图象所对应的一元一次方程及它的解.y=x+2-20xy2y=-2.5x+50xy活动设计意图: 通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解.探究二你能从函数“形”的角度对解这两个方程进行解释吗？（1）2x-4=2； （2）2x-4=4从“形”的角度看：直线y=2x-4的 图象上y=2对应点的横坐标为_，这就说明方程2x-4=2的解是_。从“形”的角度看：直线y=2x-4的 图象上y=4对应点的横坐标为_，这就说明方程2x-4=4的解是_。规律总结：一次函数的问题图象1当x为何值时，y=2x-4的函数值为22当x为何值时，y=kx+b的函数值为c设计意图:通过由特殊到一般，再由一般到特殊的过程，使学生进一步从数和形两个角度认识一次函数与一元一次方程的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程，也符合认知规律.合作1：观察函数y=-3x+2的图像请根据图像写出你所发现的一元一次方程及它的解？（学生几何画板操作，小组合作）合作2：如图根据图象写出你所发现的一元一次方程及它的解？合作3：讨论一次函数与一元一次方程之间的联系。总结：方程是刻画现实世界数量之间的相等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系。从而一元一次方程就相当于一次函数数量变化过程中的特定状态设计意图：从上面活动让学生通过动手操作，观察，巩固一次函数图象与一元一次函数的关系。建立函数模型与一元一次方程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想。规律总结：(1)一元一次方程常常转化为_ 的形式. 求方程kx+b=0的解也就是求y=kx+b当 y= _ 时，自变量x的的值.也是求直线y=kx+b与_的交点的_坐标(2)一元一次方程都可以转化为_ 的形式. 求方程kx+b=c的解 也就是求y=kx+b当 y= _ 时，自变量x的的值. 也就是求y=kx+b当 y= _ 时，自变量x的的值.练习二：1.一次函数y=kx+b的图象如图所示则方程kx+b=0的解为_。2.已知一元一次方程ax+b=0(a,b为常数， a0)的解为x=2,那么一次函数y=ax+b的函数值为0时，自变量x的值是_。3.若关于x的方程4x-b=5的解为x=2，则直线y=4x-b一定经过点_。设计意图：从上面练习可以巩固所学，感受从函数角度看问题，利用图形解一元一次方程。发现一次函数与一元一次方程之间的联系，这种数与形的转化与结合在以后学习中有很重要的作用.课堂小结：通过这节课，我们学到了什么知识？你有哪些收获？ 布置作业：课后练习