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【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题三 数列的通项与求和数列的通项【背一背基础知识】1.数列的通项公式:若数列的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示出来,记作,称作该数列的通项公式.2等差数列的通项公式:3等比数列的通项公式:4.等差数列性质:若是公差为的等差数列的前项和,则;若,则;仍是等差数列;5.等比数列性质:若是公差为的等比数列的前项和,则;若,则仍是等差数列(其中或不是偶数);【讲一讲基本技能】1. 必备技能:(1)等差数列的判定:定义法;等差中项法;通项公式法;前n项和公式法;作解答题时只能用前两种方法(2)等比数列的判定:定义法;等比中项法;通项公式法;前n项和公式法;作解答题时只能用前两种方法(3)数列通项公式求法:观察法:对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题,常用观察法,通过观察数列前几项特征,找出各项共同构成的规律,横向看各项的关系结构,纵向看各项与项数的关系时,分解所给数列的前几项,观察这几项的分解式中,哪些部分是变化的,哪些部分是不变化的,变化部分与序号的关系,归纳出的通项公式,再用数学归纳法证明.累加法:对于可转化为形式数列的通项公式问题,化为,通过累加得= =,求出数列的通项公式,注意相加等式的个数累积法:对于可转化为形式数列的通项公式问题,化为,通过累积得= =,求出数列的通项公式,注意相乘等式的个数构造法:对于化为(其中是常数)型,常用待定系数法将其化为,由等比数列定义知是公比为的等比数列,由等比数列的通项公式先求出通项公式,再求出的通项公式.利用前项和与第项关系求通项对递推公式为与的关系式(或),利用进行求解.注意=成立的条件是2,求时不要漏掉=1即=的情况,当=适合=时,=;当=不适合=时,用分段函数表示.2. 典型例题例1 在数列中,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和.【分析】(1)已知递推式,要求通项公式,我们应该把已知进行变形,看能否构成等差(比)数列,由得,从而新数列是等差数列,通项可求;(2)根据(1)求出=,利用拆项消去法即可求出该数列的前n项和.【解析】(1)由于,则,所以是首项为1公差1的等差数列,则,所以.例2例3 已知在数列中,且.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和【分析】(1)由得,即,故, ,用累乘法得,故;(2)根据(1)求出=,利用拆项消去法即可求出该数列的前n项和.【解析】(1),.(2)因为=,所以=.例3 已知数列的前项和为,且,数列中,()(1)求数列,的通项和(2)设,求数列的前n项和【分析】(1)由,可得当n2时,两式相减可得,从而可知数列是以2为首项,2为公比的等比数列,故可得;根据,两边取倒数,可得数列是以1为首项,2为公差的等差数列,从而可求的通项;(2),所以数列的前n项和利用错位相减法可求数列的前n项和.【解析】【练一练趁热打铁】1.在数列中,其前项和满足:,(n2).求数列an的通项公式.【答案】【解析】 2.设数列满足,(1) 求数列的通项公式;(2)已知数列的前n项和.【答案】(1);(2)=【解析】(1)由题意,时,又适合上式,(2)由(1)=,所以=.数列的求和【背一背基础知识】1. 数列的前项和为2等差数列的前和公式:3等比差数列的前和公式:,【讲一讲基本技能】1.必备技能:(1)分组转化法有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形,将通项分裂成两项或n项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和这种方法,适用于求通项为的数列的前n项和,其中an若为等差数列,则.常见的拆项公式:;();();()2.典型例题例1数列满足,(1)证明:数列是等差数列;(2)设,求数列的前项和【分析】(1)将已知等式两边同时除以即可使问题得证;(2)先由(1)得出的表达式,再用错位相减法即可求解【解析】例2已知正项数列,满足:,是等差数列,且对任意正整数n,都有成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)求【分析】(1)因为成等比数列,所以,由得, 解得: ,所以公差 ,数列的通项公式为 ;(2)由知,所以,采用裂项相消的方法,即可求出【解析】(1)对任意正整数n,都有成等比数列,且数列,均为正项数列,(nN*)由a13,a26得又bn为等差数列,即有b1b32b2,解得b1,b2,数列bn是首项为,公差为的等差数列数列bn的通项公式为(nN*)(2)由(1)得,对任意nN*,从而有,例3已知数列中,.(1)求的通项公式;(2)设的前n项和为,求.【分析】(1)由题知,所以是首项为2公比为2,利用等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式,从而即可求得数列的通项公式(2) 采用分组求和法求和【解析】【练一练趁热打铁】1. 设数列满足,(1)求数列的通项;(2)设,求数列的前项和【答案】(1);(2)【解析】2. 设数列的前项和满足:,等比数列的前项和为,公比为,且(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,求证:【答案】(1);(2)见解析【解析】 3. 已知是各项均为正数的等比数列,是与的等差中项且()求的通项公式;()设,求数列的前项和【答案】();()【解析】(20*5=100分)1设等差数列的前项和为,公差已知成等比数列()求数列的通项公式;()设,求数列的前项和【答案】();() 【解析】()依题意, ,解得因此,即 ()依题意, = 2. 设数列的前项n和为,若对于任意的正整数n都有(1)设,求证:数列是等比数列,(2)求数列的前n项和【答案】(1)详见解析(2)【解析】由得:由可得23. 已知数列的各项均为正数,前项和为,且(1)求证:数列是等差数列; (2)设求【答案】(1)详见解析;(2)【解析】 4. 已知数列满足,(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前n项和,求【答案】(1);(2)【解析】 5. 已知数列的前项和为,且(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和【答案】(1);(2)【解析】(1)当时,由,得: 由 上面两式相减,得: 所以数列是以首项为,公比为的等比数列,得: 友情提示:部分文档来自网络整理,供您参考!文档可复制、编辑,期待您的好评与关注! /
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