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35 数列的求和一、基本方法1直接用等差、等比数列的求和公式求和。等差: 等比: 注意:公比含字母时一定要讨论无穷递缩等比数列所有项的和: 2错位相减法求和:如:3分组求和:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。4合并求和:如:求的和。5裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项:; ; ; ; 6公式法求和 7倒序相加法求和8其它求和法:如:归纳猜想法,奇偶法等二、应用举例1用公式求和例1求和:; 求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,前n项和思路分析:通过分组,直接用公式求和。解:(1)当时,(2)当总结:运用等比数列前n项和公式时,要注意公比讨论。2错位相减法求和例2已知数列,求前n项和。思路分析:已知数列各项是等差数列1,3,5,2n-1与等比数列对应项积,可用错位相减法求和。解: 当 当练习:求 答案: 3.裂项相消法求和例3.求和思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: 练习: 解:4.倒序相加法求和例4P98考例4.已知数列的前n项和,是否存在等差数列,使对一切自然数n均成立?解:当n=1时,当时,又满足时式子,假设存在等差数列bn满足条件,设b0=0,且bn(nN)仍成等差数列,则,倒序得:相加得,令bn=n,显然n=0时,b0=0,故存在等差数列使已知等式成立。变式:求证:思路分析:由可用倒序相加法求和。证:令则 等式成立5其它求和方法还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。例5已知数列。思路分析:,通过分组,对n分奇偶讨论求和。解:,若若练习:求和(n为偶数时和为n,n为奇数时和为-n)三、小结1掌握各种求和基本方法;2利用等比数列求和公式时注意分讨论。四、作业1. 求前n项的和: . 答案: 答案: (3) 答案: 答案: 123+234+345+n(n+1)(n+2)答案: 2. 已知数列(n为正整数)是首项是a1,公比为q的等比数列. (1)求和: (2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.答案: (1)(2)3.将数列按如下分组:问:第一组到第k组共有几个数?第k组的首数和尾数各是多少?求第k组各数之和及前k组各数之和.答案:4.某电站沿一条新公路竖立电线杆,相邻两根电线杆间的距离都是50米,最后一根电线杆距电站2450米;一汽车从电站每次运出3根电线杆供应施工,若汽车往返运输总行程为35500米,试求共竖多少根电线杆?第一根电线杆距电站多少米?答案:30 1000
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