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一、填空题1已知0x1,则x(33x)取得最大值时x的值为_解析:0x0,b0,则2的最小值是_解析:22 24,当且仅当ab1时取“”答案:44不等式4xa2x10对一切xR恒成立,则a的取值范围是_解析:由题可得a2x恒成立,由基本不等式可知2x2,所以a2.答案:2,)5当x22x8时,函数y的最小值是_解析:由x22x8,得2x0,b0,且不等式0恒成立,则实数k的最小值等于_解析:由0得k,而24(ab时取等号),所以4,因此要使k恒成立,应有k4,即实数k的最小值等于4.答案:48已知m、n、s、tR,mn2,9,其中m、n是常数,且st的最小值是,满足条件的点(m,n)是圆(x2)2(y2)24中一弦的中点,则此弦所在的直线方程为_解析:因(st)()mnmn2,所以mn24,从而mn1,得mn1,即点(1,1),而已知圆的圆心为(2,2),所求弦的斜率为1,从而此弦的方程为xy20.答案:xy209从等腰直角三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC2,A90,则这两个正方形的面积之和的最小值为_解析:设两个正方形边长分别为a,b,则由题意可得ab1,且a,b,Sa2b22()2,当且仅当ab时取等号答案:二、解答题10已知lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求xy的最小值;(2)求xy的最小值解析:由lg(3x)lg ylg(xy1),得(1)x0,y0,3xyxy121,3xy210,即3()2210,(31)(1)0,1,xy1,当且仅当xy1时,等号成立xy的最小值为1.(2)x0,y0,xy13xy3()2,3(xy)24(xy)40,3(xy)2(xy)20,xy2,当且仅当xy1时取等号,xy的最小值为2.11在锐角ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m(2sin (AC),),n(cos 2B,2cos2 1),且向量m、n共线(1)求角B的大小;(2)如果b1,求ABC的面积SABC的最大值解析:(1)mn,2sin (AC)(2cos2 1)cos 2B0.又ACB,2sin Bcos Bcos 2B,即sin 2Bcos 2B.tan 2B,又ABC是锐角三角形,0B0),且当V2时,8,所以k16,所以y1(V0.5)V0.5(V0.5)(2)yV0.57.5,并且仅当V,即V4时等号成立,所以,博物馆支付的总费用的最小值为7.5千元(3)设S(单位:平方米)为底面正方形的面积,由题意得不等式:V0.58,V2S,代入整理得4S217S160,解得1.41S2.84.又底面正方形的面积最小不得少于1.11.11.21,所以,保护罩的底面积的最小值是1.4平方米
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